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12
数列
★★☆☆☆
在等差数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
中，已知
a
3
+
a
8
=
10
a_{3} + a_{8} = 10
a
3
+
a
8
=
10
，则
3
a
5
+
a
7
=
‾
3a_{5} + a_{7} =\underline{\hspace{2em}}
3
a
5
+
a
7
=
.
2013 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题
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19
数列
★★★★☆
设数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_{n}
S
n
，已知
a
1
=
1
a_{1} = 1
a
1
=
1
，
2
S
n
n
=
a
n
+
1
−
1
3
n
2
−
n
−
2
3
\frac{2S_{n}}{n} = a_{n+1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}
n
2
S
n
=
a
n
+
1
−
3
1
n
2
−
n
−
3
2
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
.
(1) 求
a
2
a_{2}
a
2
的值. (2) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式. (3) 证明：对一切正整数
n
n
n
，有
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯
+
1
a
n
<
7
4
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{7}{4}
a
1
1
+
a
2
1
+
⋯
+
a
n
1
<
4
7
.
2013 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题
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