圆 $C: x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ 的圆心到直线 $l: 3x + 4y + 4 = 0$ 的距离 $d =\underline{\hspace{2em}}$.

动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x + 2 = 0$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹方程为______.

在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma$ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $(\sqrt{5},0)$，$\boldsymbol{e}_1 = (2,1)$，$\boldsymbol{e}_2 = (2,-1)$ 分别是两条渐近线的方向向量. 任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$，若 $\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2$（$a$，$b \in \mathbf{R}$），则 $a$，$b$ 满足的一个等式是______.

将直线 $l_1: x + y - 1 = 0$，$l_2: nx + y - n = 0$，$l_3: x + ny - n = 0$ （$n \in \mathbf{N}^*$，$n \geqslant 2$）围成的三角形面积记为 $S_n$. 则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =$______.

(1) 已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），$A(0, b)$，$B(0, -b)$ 和 $Q(a, 0)$ 为 $\Gamma$ 的三个顶点. 若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AB}\right)$，求点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $l_{1}: y = k_{1}x + p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C$，$D$ 两点，交直线 $l_{2}: y = k_{2}x$ 于点 $E$. 若 $k_{1} \cdot k_{2} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}$，证明：$E$ 为 $CD$ 的中点； (3) 设点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内且不在 $x$ 轴上，如何作过 $PQ$ 中点 $F$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 两个交点 $P_{1}$，$P_{2}$ 满足 $\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}$？令 $a = 10$，$b = 5$，点 $P$ 的坐标是 $(-8, -1)$. 若椭圆 $\Gamma$ 上的点 $P_{1}$，$P_{2}$ 满足 $\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}$，求点 $P_{1}$，$P_{2}$ 的坐标.