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01三角函数★☆☆☆☆
在函数 y=sin⁡2xy=\sin 2x，y=sin⁡xy=\sin x，y=cos⁡xy=\cos x，y=tan⁡x2y=\tan \dfrac{x}{2} 中，最小正周期为 π\pi 的函数是（ ）
A.
y=sin⁡2xy=\sin 2x
B.
y=sin⁡xy=\sin x
C.
y=cos⁡xy=\cos x
D.
y=tan⁡x2y=\tan \dfrac{x}{2}

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
当 23<m<1\dfrac{2}{3}<m<1 时，复数 z=(3m−2)+(m−1)iz=(3m-2)+(m-1)\mathrm{i} 在复平面上对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

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03解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x24−y29=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1 的渐近线方程是（ ）
A.
y=±32xy=\pm\dfrac{3}{2}x
B.
y=±23xy=\pm\dfrac{2}{3}x
C.
y=±94xy=\pm\dfrac{9}{4}x
D.
y=±49xy=\pm\dfrac{4}{9}x

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍2\text{ 倍}，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
45∘45^{\circ}
C.
60∘60^{\circ}
D.
75∘75^{\circ}

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05解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，圆心在 (2,π)(\sqrt{2},\pi) 且过极点的圆的方程为（ ）
A.
ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos\theta
B.
ρ=−22cos⁡θ\rho=-2\sqrt{2}\cos\theta
C.
ρ=22sin⁡θ\rho=2\sqrt{2}\sin\theta
D.
ρ=−22sin⁡θ\rho=-2\sqrt{2}\sin\theta

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡(θ+π)<0\sin(\theta+\pi)<0，cos⁡(θ−π)>0\cos(\theta-\pi)>0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A.
tan⁡θ2<cot⁡θ2\tan\dfrac{\theta}{2}<\cot\dfrac{\theta}{2}
B.
tan⁡θ2>cot⁡θ2\tan\dfrac{\theta}{2}>\cot\dfrac{\theta}{2}
C.
sin⁡θ2<cos⁡θ2\sin\dfrac{\theta}{2}<\cos\dfrac{\theta}{2}
D.
sin⁡θ2>cos⁡θ2\sin\dfrac{\theta}{2}>\cos\dfrac{\theta}{2}

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
已知三个不等式：ab>0ab>0，bc−ad>0bc-ad>0，ca−db>0\dfrac{c}{a}-\dfrac{d}{b}>0（其中 aa，bb，cc，dd 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
两个完全相同的长方体的长，宽，高分别为 5 cm5\mathrm{~cm}，4 cm4\mathrm{~cm}，3 cm3\mathrm{~cm}，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A.
77 cm\sqrt{77}\mathrm{~cm}
B.
72 cm7\sqrt{2}\mathrm{~cm}
C.
55 cm5\sqrt{5}\mathrm{~cm}
D.
102 cm10\sqrt{2}\mathrm{~cm}

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 100 件100\text{ 件} 产品中有 6 件6\text{ 件} 次品，现从中任取 3 件3\text{ 件} 产品，至少有 1 件1\text{ 件} 次品的不同取法的种数是（ ）
A.
C61C942\mathrm C_6^1\mathrm C_{94}^2
B.
C61C992\mathrm C_6^1\mathrm C_{99}^2
C.
C1003−C943\mathrm C_{100}^3-\mathrm C_{94}^3
D.
A1003−A943\mathrm A_{100}^3-\mathrm A_{94}^3

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10概率与统计★☆☆☆☆
期中考试以后，班长算出了全班 40 人40\text{ 人} 数学成绩的平均分为 MM，如果把 MM 当成一个同学的分数，与原来的 40 个40\text{ 个} 分数一起，算出这 41 个41\text{ 个} 分数的平均值为 NN，那么 M:NM:N 为（ ）
A.
4041\dfrac{40}{41}
B.
11
C.
4140\dfrac{41}{40}
D.
22

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若 f−1(x)f^{-1}(x) 为函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x)=\lg(x+1) 的反函数，则 f−1(x)f^{-1}(x) 的值域是______.

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12三角函数★★☆☆☆
sin⁡(α+30∘)−sin⁡(α−30∘)cos⁡α\dfrac{\sin(\alpha+30^{\circ})-\sin(\alpha-30^{\circ})}{\cos\alpha} 的值为______.

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 bb，2003 年2003\text{ 年} 产生的垃圾量为 a 吨a\text{ 吨}. 由此预测，该区下一年的垃圾量为______吨\text{吨}，2008 年2008\text{ 年} 的垃圾量为______吨\text{吨}.

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14解析几何★★★☆☆
若直线 mx+ny−3=0mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3x^2+y^2=3 没有公共点，则 mm，nn 满足的关系式为______；以 (m,n)(m,n) 为点 PP 的坐标，过点 PP 的一条直线与椭圆 x27+y23=1\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1 的公共点有______个\text{个}.

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
当 0<a<10<a<1 时，解关于 xx 的不等式：a2x−1<ax−2a^{\sqrt{2x-1}}<a^{x-2}.

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是 ∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 的对边长，已知 aa，bb，cc 成等比数列，且 a2−c2=ac−bca^2-c^2=ac-bc，求 ∠A\angle A 的大小及 bsin⁡Bc\dfrac{b\sin B}{c} 的值.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是边长为 11 的正方形，SDSD 垂直于底面 ABCDABCD，SB=3SB=\sqrt{3}. 求：
(1) 证明：BC⊥SCBC\perp SC； (2) 求面 ASDASD 与面 BSCBSC 所成二面角的大小； (3) 设棱 SASA 的中点为 MM，求异面直线 DMDM 与 SBSB 所成的角的大小.

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18解析几何★★★☆☆
已知点 A(2,8)A(2,8)，B(x1,y1)B(x_1,y_1)，C(x2,y2)C(x_2,y_2) 在抛物线 y2=2pxy^2=2px 上，△ABC\triangle ABC 的重心与此抛物线的焦点 FF 重合（如图）.
(1) 写出该抛物线的方程和焦点 FF 的坐标； (2) 求线段 BCBC 中点 MM 的坐标； (3) 求 BCBC 所在直线的方程.

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19函数与初等函数★★☆☆☆
某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元40\text{ 元}，出厂单价定为 60 元60\text{ 元}. 该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个100\text{ 个} 时，每多订购 1 个1\text{ 个}，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元0.02\text{ 元}，但实际出厂单价不能低于 51 元51\text{ 元}.
(1) 当一次订购量为多少个\text{个}时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元51\text{ 元}？ (2) 设一次订购量为 x 个x\text{ 个}，零件的实际出厂单价为 P 元P\text{ 元}，写出函数 P=f(x)P=f(x) 的表达式； (3) 当销售商一次订购 500 个500\text{ 个}零件时，该厂获得的利润是多少元\text{元}？如果订购 1000 个1000\text{ 个}，利润又是多少元\text{元}？（工厂售出一个零件的利润 == 实际出厂单价 −- 成本）

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20数列★★★★☆
下表给出一个“等差数阵”：
其中每行，每列都是等差数列，aija_{ij} 表示位于第 ii 行第 jj 列的数.
(1) 写出 a45a_{45} 的值； (2) 写出 aija_{ij} 的计算公式； (3) 证明：正整数 NN 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+12N+1 可以分解成两个不是 11 的正整数之积.

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