在 $\triangle ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 的对边长，已知 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，且 $a^2-c^2=ac-bc$，求 $\angle A$ 的大小及 $\dfrac{b\sin B}{c}$ 的值.

下表给出一个“等差数阵”：

其中每行，每列都是等差数列，$a_{ij}$ 表示位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数.

(1) 写出 $a_{45}$ 的值； (2) 写出 $a_{ij}$ 的计算公式； (3) 证明：正整数 $N$ 在该等差数列阵中的充要条件是 $2N+1$ 可以分解成两个不是 $1$ 的正整数之积.