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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 SS，TT 是两个非空集合，且 S⊄TS \not\subset T，T⊄ST \not\subset S. 令 X=S∩TX = S \cap T，那么 S∪XS \cup X 等于（ ）
A.
XX
B.
TT
C.
∅\varnothing
D.
SS

1987 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），令 c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}，那么它的准线方程为（ ）
A.
y=±a2cy = \pm \frac{a^2}{c}
B.
y=±b2cy = \pm \frac{b^2}{c}
C.
x=±a2cx = \pm \frac{a^2}{c}
D.
x=±b2cx = \pm \frac{b^2}{c}

1987 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
设 aa，bb 是满足 ab<0ab < 0 的实数，那么（ ）
A.
∣a+b∣>∣a−b∣|a + b| > |a - b|
B.
∣a+b∣<∣a−b∣|a + b| < |a - b|
C.
∣a−b∣<∣∣a∣−∣b∣∣|a - b| < ||a| - |b||
D.
∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b|

1987 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 EE，FF，GG，HH 是空间中的四个点. 设命题甲：点 EE，FF，GG，HH 不共面；命题乙：直线 EFEF 和 GHGH 不相交. 那么（ ）
A.
甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件，但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

1987 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上为增函数的是（ ）
A.
y=−log⁡12(−x)y = -\log_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)
B.
y=x1−xy = \frac{x}{1 - x}
C.
y=−(x+1)2y = -(x + 1)^2
D.
y=1+x2y = 1 + x^2

1987 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★☆☆☆☆
要得到函数 y=sin⁡(2x−π3)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) 的图象，只需将函数 y=sin⁡2xy = \sin 2x 的图象（如图）（ ）
A.
向左平行移动 π3\frac{\pi}{3}
B.
向右平行移动 π3\frac{\pi}{3}
C.
向左平行移动 π6\frac{\pi}{6}
D.
向右平行移动 π6\frac{\pi}{6}

1987 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 ρ=sin⁡θ+2cos⁡θ\rho = \sin \theta + 2\cos \theta 所表示的曲线是（ ）
A.
直线
B.
圆
C.
双曲线
D.
抛物线

1987 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=arccos⁡(cos⁡x)y = \arccos(\cos x)（x∈[−π2,π2]x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]）的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

1987 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★☆☆☆☆
求函数 y=tan⁡2x3y = \tan \frac{2x}{3} 的周期.

1987 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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10解析几何★★☆☆☆
已知方程 x22+λ−y21+λ=1\frac{x^2}{2 + \lambda} - \frac{y^2}{1 + \lambda} = 1 表示双曲线，求 λ\lambda 的范围.

1987 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+x)n\left(1 + x\right)^n 的展开式中，x3x^3 的系数等于 xx 的系数的 7 倍，求 nn.

1987 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 解答题

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12数列★★☆☆☆
求极限：lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+3n2+1+⋯+2nn2+1)\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 1} + \frac{3}{n^2 + 1} + \cdots + \frac{2n}{n^2 + 1}\right).

1987 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 解答题

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13解析几何★★★☆☆
在抛物线 y=4x2y = 4x^2 上求一点，使该点到直线 y=4x−5y = 4x - 5 的距离为最短.

1987 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 解答题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字且数字 1 与 2 不相邻的五位数，求这种五位数的个数.

1987 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 解答题

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15立体几何初步★★☆☆☆
一个正三棱台的下底和上底的周长分别为 30 cm30 \mathrm{~cm} 和 12 cm12 \mathrm{~cm}，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.

1987 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
求 sin⁡10∘sin⁡30∘sin⁡50∘sin⁡70∘\sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ 的值.

1987 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 P−ABCP-ABC 中，已知 PA⊥BCPA \perp BC，PA=BC=LPA = BC = L，PAPA，BCBC 的公垂线 ED=hED = h. 求证：三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 V=16L2hV = \frac{1}{6}L^2h.

1987 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18不等式★★★★☆
设对所有实数 xx，不等式 x2log⁡24(a+1)a+2xlog⁡22aa+1+log⁡2(a+1)24a2>0x^2\log_2 \frac{4(a + 1)}{a} + 2x\log_2 \frac{2a}{a + 1} + \log_2 \frac{(a + 1)^2}{4a^2} > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

1987 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19复数★★★☆☆
设复数 z1z_1 和 z2z_2 满足关系式 z1z2‾+A‾z1+Az2‾=0z_1\overline{z_2} + \overline{A}z_1 + A\overline{z_2} = 0，其中 AA 为不等于 00 的复数. 证明：
(1) ∣z1+A∣∣z2+A∣=∣A∣2|z_1 + A||z_2 + A| = |A|^2； (2) z1+Az2+A=∣z1+Az2+A∣\frac{z_1 + A}{z_2 + A} = \left|\frac{z_1 + A}{z_2 + A}\right|.

1987 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 的前 nn 项的和 SnS_n 与 ana_n 的关系是 Sn=−ban+1−1(1+b)nS_n = -ba_n + 1 - \frac{1}{(1+b)^n}，其中 bb 是与 nn 无关的常数，且 b≠−1b \neq -1.
(1) 求 ana_n 和 an−1a_{n-1} 的关系式； (2) 写出用 nn 和 bb 表示 ana_n 的表达式； (3) 当 0<b<10 < b < 1 时，求极限 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n.

1987 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
定长为 33 的线段 ABAB 的两端点在抛物线 y2=xy^2 = x 上移动，记线段 ABAB 的中点为 MM，求点 MM 到 yy 轴的最短距离，并求此时点 MM 的坐标.

1987 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★☆☆☆
求极限：lim⁡n→∞(1−12x)x\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x.

1987 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23导数及其应用★★☆☆☆
设 y=xln⁡(1+x2)y = x\ln\left(1 + x^2\right)，求 y′y'.

1987 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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