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09
导数及其应用
★★★☆☆
若函数
f
(
x
)
=
x
2
+
a
x
+
1
x
f(x)=x^2+ax+\frac{1}{x}
f
(
x
)
=
x
2
+
a
x
+
x
1
在
(
1
2
,
+
∞
)
\left(\frac{1}{2},+\infty\right)
(
2
1
,
+
∞
)
是增函数，则
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
[
−
1
,
0
]
[-1,0]
[
−
1
,
0
]
B.
[
−
1
,
+
∞
)
[-1,+\infty)
[
−
1
,
+
∞
)
C.
[
0
,
3
]
[0,3]
[
0
,
3
]
D.
[
3
,
+
∞
)
[3,+\infty)
[
3
,
+
∞
)
2013 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
(
1
+
λ
x
)
1
+
x
f(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x(1+\lambda x)}{1+x}
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
1
+
x
x
(
1
+
λ
x
)
.
(1) 若
x
⩾
0
x\geqslant0
x
⩾
0
时
f
(
x
)
⩽
0
f(x)\leqslant0
f
(
x
)
⩽
0
，求
λ
\lambda
λ
的最小值； (2) 设数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的通项
a
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}
a
n
=
1
+
2
1
+
3
1
+
⋯
+
n
1
，证明：
a
2
n
−
a
n
+
1
4
n
>
ln
2
a_{2n}-a_n+\frac{1}{4n}>\ln2
a
2
n
−
a
n
+
4
n
1
>
ln
2
.
2013 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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