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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={1,2,3,4}A=\{1,2,3,4\}，B={−1,0,2,3}B=\{-1,0,2,3\}，C={x∈R∣−1≤x<2}C=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\le x<2\}，则 (A∪B)∩C=(A\cup B)\cap C=（ ）
A.
{−1,1}\{-1,1\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
D.
{2,3,4}\{2,3,4\}

2018 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件 x+y≤5x+y\le5，2x−y≤42x-y\le4，−x+y≤1-x+y\le1，y≥0y\ge0，则目标函数 z=3x+5yz=3x+5y 的最大值为（ ）
A.
66
B.
1919
C.
2121
D.
4545

2018 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则“x3>8x^3>8”是“∣x∣>2|x|>2”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2018 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 2020，则输出 TT 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡372a=\log_3\dfrac72，b=(14)13b=\left(\dfrac14\right)^{\frac13}，c=log⁡1315c=\log_{\frac13}\dfrac15，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a>b>ca>b>c
B.
b>a>cb>a>c
C.
c>b>ac>b>a
D.
c>a>bc>a>b

2018 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡ ⁣(2x+π5)y=\sin\!\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right) 的图象向右平移 π10\dfrac{\pi}{10} 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A.
在区间 [−π4,π4]\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right] 上单调递增
B.
在区间 [−π4,0]\left[-\dfrac{\pi}{4},0\right] 上单调递减
C.
在区间 [π4,π2]\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right] 上单调递增
D.
在区间 [π2,π]\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right] 上单调递减

2018 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的离心率为 22，过右焦点且垂直于 xx 轴的直线与双曲线交于 AA，BB 两点.设 AA，BB 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1d_1 和 d2d_2，且 d1+d2=6d_1+d_2=6，则双曲线的方程为（ ）
A.
x23−y29=1\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{9}=1
B.
x29−y23=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{3}=1
C.
x24−y212=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1
D.
x212−y24=1\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{4}=1

2018 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
在如图的平面图形中，已知 OM=1OM=1，ON=2ON=2，∠MON=120∘\angle MON=120^\circ，BM→=2MA→\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}，CN→=2NA→\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}，则 BC→⋅OM→\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OM} 的值为（ ）
A.
−15-15
B.
−9-9
C.
−6-6
D.
00

2018 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 6+7i1+2i=‾\dfrac{6+7\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10导数及其应用★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=exln⁡xf(x)=\mathrm{e}^x\ln x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数，则 f′(1)f'(1) 的值为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 11，则四棱锥 A1−BB1D1DA_1-BB_1D_1D 的体积为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★☆☆☆☆
在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，(2,0)(2,0) 的圆的方程为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a−3b+6=0a-3b+6=0，则 2a+18b2^a+\dfrac1{8^b} 的最小值为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x2+2x+a−2,x≤0,−x2+2x−2a,x>0.f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a-2, & x\le0,\\ -x^2+2x-2a, & x>0. \end{cases}
若对任意 x∈[−3,+∞)x\in[-3,+\infty)，f(x)≤∣x∣f(x)\le|x| 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
已知某校甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 77 名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1) 应从甲，乙，丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2) 设抽出的 77 名同学分别用 AA，BB，CC，DD，EE，FF，GG 表示，现从中随机抽取 22 名同学承担敬老院的卫生工作.
(i) 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii) 设 MM 为事件“抽取的 22 名同学来自同一年级”，求事件 MM 发生的概率.

2018 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.已知 bsin⁡A=acos⁡ ⁣(B−π6)b\sin A=a\cos\!\left(B-\dfrac{\pi}{6}\right).
(1) 求角 BB 的大小； (2) 设 a=2a=2，c=3c=3，求 bb 和 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABCDABCD 中，△ABC\triangle ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥ABC\perp 平面 ABDABD，点 MM 为棱 ABAB 的中点，AB=2AB=2，AD=23AD=2\sqrt3，∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ.
(1) 求证：AD⊥BCAD\perp BC； (2) 求异面直线 BCBC 与 MDMD 所成角的余弦值； (3) 求直线 CDCD 与平面 ABDABD 所成角的正弦值.

2018 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，其前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）；{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 TnT_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.已知 b1=1b_1=1，b3=b2+2b_3=b_2+2，b4=a3+a5b_4=a_3+a_5，b5=a4+2a6b_5=a_4+2a_6.
(1) 求 SnS_n 和 TnT_n； (2) 若 Sn+(T1+T2+⋯+Tn)=an+4bnS_n+(T_1+T_2+\cdots+T_n)=a_n+4b_n，求正整数 nn 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右顶点为 AA，上顶点为 BB.已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，∣AB∣=13|AB|=\sqrt{13}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx（k<0k<0）与椭圆交于 PP，QQ 两点，ll 与直线 ABAB 交于点 MM，且点 PP，MM 均在第四象限.若 △BPM\triangle BPM 的面积是 △BPQ\triangle BPQ 面积的 22 倍，求 kk 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)，其中 t1t_1，t2t_2，t3∈Rt_3\in\mathbf{R}，且 t1t_1，t2t_2，t3t_3 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 若 t2=0t_2=0，d=1d=1，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 d=3d=3，求 f(x)f(x) 的极值； (3) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=−(x−t2)−63y=-(x-t_2)-6\sqrt3 有三个互异的公共点，求 dd 的取值范围.

2018 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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