设 $\{a_n\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$（$n\in\mathbf{N}^*$）；$\{b_n\}$ 是等比数列，公比大于 $0$，其前 $n$ 项和为 $T_n$（$n\in\mathbf{N}^*$）.已知 $b_1=1$，$b_3=b_2+2$，$b_4=a_3+a_5$，$b_5=a_4+2a_6$.

(1) 求 $S_n$ 和 $T_n$； (2) 若 $S_n+(T_1+T_2+\cdots+T_n)=a_n+4b_n$，求正整数 $n$ 的值.

设函数 $f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)$，其中 $t_1$，$t_2$，$t_3\in\mathbf{R}$，且 $t_1$，$t_2$，$t_3$ 是公差为 $d$ 的等差数列.

(1) 若 $t_2=0$，$d=1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 若 $d=3$，求 $f(x)$ 的极值； (3) 若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-(x-t_2)-6\sqrt3$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围.