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10
导数及其应用
★★★★☆
若定义在
R
\mathbf{R}
R
上的函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
满足
f
(
0
)
=
−
1
f(0) = -1
f
(
0
)
=
−
1
，其导函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
满足
f
′
(
x
)
>
k
>
1
f'(x) > k > 1
f
′
(
x
)
>
k
>
1
，则下列结论中一定错误的是（ ）
A.
f
(
1
k
)
<
1
k
f\left(\frac{1}{k}\right) < \frac{1}{k}
f
(
k
1
)
<
k
1
B.
f
(
1
k
)
>
1
k
−
1
f\left(\frac{1}{k}\right) > \frac{1}{k - 1}
f
(
k
1
)
>
k
−
1
1
C.
f
(
1
k
−
1
)
<
1
k
−
1
f\left(\frac{1}{k - 1}\right) < \frac{1}{k - 1}
f
(
k
−
1
1
)
<
k
−
1
1
D.
f
(
1
k
−
1
)
>
k
k
−
1
f\left(\frac{1}{k - 1}\right) > \frac{k}{k - 1}
f
(
k
−
1
1
)
>
k
−
1
k
2015 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题
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19
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
f(x) = \ln (1 + x)
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
，
g
(
x
)
=
k
x
g(x) = kx
g
(
x
)
=
k
x
（
k
∈
R
k \in \mathbf{R}
k
∈
R
）.
(1) 证明：当
x
>
0
x > 0
x
>
0
时，
f
(
x
)
<
x
f(x) < x
f
(
x
)
<
x
； (2) 证明：当
k
<
1
k < 1
k
<
1
时，存在
x
0
>
0
x_0 > 0
x
0
>
0
，使得对任意的
x
∈
(
0
,
x
0
)
x \in (0, x_0)
x
∈
(
0
,
x
0
)
，恒有
f
(
x
)
>
g
(
x
)
f(x) > g(x)
f
(
x
)
>
g
(
x
)
； (3) 确定
k
k
k
的所有可能取值，使得存在
t
>
0
t > 0
t
>
0
，对任意的
x
∈
(
0
,
t
)
x \in (0, t)
x
∈
(
0
,
t
)
，恒有
∣
f
(
x
)
−
g
(
x
)
∣
<
x
2
|f(x) - g(x)| < x^2
∣
f
(
x
)
−
g
(
x
)
∣
<
x
2
.
2015 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题
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