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08解析几何★★★☆☆
在等腰直角三角形 ABCABC 中，AB=AC=4AB = AC = 4，点 PP 是边 ABAB 上异于 AA，BB 的一点，光线从点 PP 出发，经 BCBC，CACA 反射后又回到点 PP （如图）. 若光线 QRQR 经过 △ABC\triangle ABC 的重心，则 APAP 等于（ ）
A.
2
B.
1
C.
83\frac{8}{3}
D.
43\frac{4}{3}

2013 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★☆☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若直线
l:{x=t,y=t−a,l: \begin{cases} x = t,\\ y = t - a, \end{cases}
（tt 为参数）过椭圆
C:{x=3cos⁡φ,y=2sin⁡φ.C: \begin{cases} x = 3\cos \varphi,\\ y = 2\sin \varphi. \end{cases}
（φ\varphi 为参数）的右顶点，则常数 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
如图，在半径为 7\sqrt{7} 的 ⊙O\odot O 中，弦 ABAB，CDCD 相交于点 PP，PA=PB=2PA = PB = 2，PD=1PD = 1，则圆心 OO 到弦 CDCD 的距离为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点，PP 是 CC 上一点，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=6a|PF_{1}| + |PF_{2}| = 6a，且 △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的最小内角为 30∘30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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20不等式★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，将从点 MM 出发沿纵、横方向到达点 NN 的任一路径称为 MM 到 NN 的一条“LL 路径”. 如图所示的路径 MM1M2M3NMM_{1}M_{2}M_{3}N 与路径 MN1NMN_{1}N 都是 MM 到 NN 的“LL 路径”. 某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOyxOy 内三点 A(3,20)A(3,20)，B(−10,0)B(-10,0)，C(14,0)C(14,0) 处. 现计划在 xx 轴上方区域（包含 xx 轴）内的某一点 PP 处修建一个文化中心.
(1) 写出点 PP 到居民区 AA 的“LL 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； (2) 若以原点 OO 为圆心，半径为 11 的圆的内部是保护区，“LL 路径”不能进入保护区，请确定点 PP 的位置，使其到三个居民区的“LL 路径”长度之和最小.

2013 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
过抛物线 E:x2=2pyE: x^{2} = 2py（p>0p > 0）的焦点 FF 作斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2} 的两条不同的直线 l1l_{1}，l2l_{2}，且 k1+k2=2k_{1} + k_{2} = 2，l1l_{1} 与 EE 相交于点 AA，BB，l2l_{2} 与 EE 相交于点 CC，DD. 以 ABAB，CDCD 为直径的圆 MM，圆 NN（MM，NN 为圆心）的公共弦所在的直线记为 ll.
(1) 若 k1>0k_{1} > 0，k2>0k_{2} > 0，证明：FM→⋅FN→<2p2\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} < 2p^{2}； (2) 若点 MM 到直线 ll 的距离的最小值为 755\frac{7\sqrt{5}}{5}，求抛物线 EE 的方程.

2013 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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