若变量 $x$，$y$ 满足的约束条件 则 $x + 2y$ 的最大值是（ ）

已知 $a$，$b$，$c \in \mathbf{R}$，$a + 2b + 3c = 6$，则 $a^2 + 4b^2 + 9c^2$ 的最小值为______.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径称为 $M$ 到 $N$ 的一条“$L$ 路径”. 如图所示的路径 $MM_{1}M_{2}M_{3}N$ 与路径 $MN_{1}N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的“$L$ 路径”. 某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $xOy$ 内三点 $A(3,20)$，$B(-10,0)$，$C(14,0)$ 处. 现计划在 $x$ 轴上方区域（包含 $x$ 轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心.

(1) 写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的“$L$ 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； (2) 若以原点 $O$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆的内部是保护区，“$L$ 路径”不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的“$L$ 路径”长度之和最小.

已知 $a > 0$，函数 $f(x) = \left| \frac{x - a}{x + 2a} \right|$.

(1) 记 $f(x)$ 在区间 $[0, 4]$ 上的最大值为 $g(a)$，求 $g(a)$ 的表达式； (2) 是否存在 $a$，使函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0, 4)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.