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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 P={x∣1<x<4}P=\{x\mid 1<x<4\}，Q={x∣2<x<3}Q=\{x\mid 2<x<3\}，则 P∩Q=P\cap Q=（ ）
A.
{x∣1<x≤2}\{x\mid 1<x\le 2\}
B.
{x∣2<x<3}\{x\mid 2<x<3\}
C.
{x∣3≤x<4}\{x\mid 3\le x<4\}
D.
{x∣1<x<4}\{x\mid 1<x<4\}

2020 · 浙江 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，若 a−1+(a−2)ia-1+(a-2)\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位）是实数，则 a=a=（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
22
D.
−2-2

2020 · 浙江 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足约束条件
{x−3y+1≤0,x+y−3≥0,\begin{cases} x-3y+1\le0,\\ x+y-3\ge0, \end{cases}
则 z=x+2yz=x+2y 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,4](-\infty,4]
B.
[4,+∞)[4,+\infty)
C.
[5,+∞)[5,+\infty)
D.
(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)

2020 · 浙江 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=xcos⁡x+sin⁡xy=x\cos x+\sin x 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2020/zhejiang/q4choicea.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2020/zhejiang/q4_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2020/zhejiang/q4choiceb.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2020/zhejiang/q4_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2020/zhejiang/q4choicec.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2020/zhejiang/q4_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2020/zhejiang/q4choiced.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2020/zhejiang/q4_choice_d.png}

2020 · 浙江 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图（单位：cm\mathrm{cm}）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3\mathrm{cm}^3）是（ ）
A.
73\dfrac{7}{3}
B.
143\dfrac{14}{3}
C.
33
D.
66

2020 · 浙江 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知空间中不过同一点的三条直线 mm，nn，ll，则“mm，nn，ll 在同一平面”是“mm，nn，ll 两两相交”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2020 · 浙江 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，公差 d≠0d\neq0，且 a1d≤1\dfrac{a_1}{d}\le1. 记 b1=S2b_1=S_2，bn+1=S2n+2−S2nb_{n+1}=S_{2n+2}-S_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），下列等式不可能成立的是（ ）
A.
2a4=a2+a62a_4=a_2+a_6
B.
2b4=b2+b62b_4=b_2+b_6
C.
a42=a2a8a_4^2=a_2a_8
D.
b42=b2b8b_4^2=b_2b_8

2020 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0). 设点 PP 满足 ∣PA∣−∣PB∣=2|PA|-|PB|=2，且 PP 为函数 y=34−x2y=3\sqrt{4-x^2} 图象上的点，则 ∣OP∣=|OP|=（ ）
A.
222\dfrac{\sqrt{22}}{2}
B.
4105\dfrac{4\sqrt{10}}{5}
C.
7\sqrt7
D.
10\sqrt{10}

2020 · 浙江 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★★☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 ab≠0ab\neq0，若 (x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0(x-a)(x-b)(x-2a-b)\ge0 在 x≥0x\ge0 上恒成立，则（ ）
A.
a<0a<0
B.
a>0a>0
C.
b<0b<0
D.
b>0b>0

2020 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★★★
设集合 SS，TT，S⊆N∗S\subseteq\mathbf{N}^*，T⊆N∗T\subseteq\mathbf{N}^*，SS，TT 中至少有两个元素，且 SS，TT 满足：
① 对于任意 xx，y∈Sy\in S，若 x≠yx\ne y，都有 xy∈Txy\in T； ② 对于任意 xx，y∈Ty\in T，若 x<yx<y，则 yx∈S\dfrac{y}{x}\in S.
下列命题正确的是（ ）
A.
若 SS 有 4 个元素，则 S∪TS\cup T 有 7 个元素
B.
若 SS 有 4 个元素，则 S∪TS\cup T 有 6 个元素
C.
若 SS 有 3 个元素，则 S∪TS\cup T 有 4 个元素
D.
若 SS 有 3 个元素，则 S∪TS\cup T 有 5 个元素

2020 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an=n(n+1)2a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}，则 S3=‾S_3=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (1+2x)5=a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5(1+2x)^5=a_1+a_2x+a_3x^2+a_4x^3+a_5x^4+a_6x^5，则 a5=‾a_5=\underline{\hspace{2em}}；a1+a2+a3=‾a_1+a_2+a_3=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡θ=2\tan\theta=2，则 cos⁡2θ=‾\cos2\theta=\underline{\hspace{2em}}；tan⁡(θ−π4)=‾\tan\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知圆锥展开图的侧面积为 2π2\pi，且为半圆，则底面半径为______.

2020 · 浙江 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
设直线 l:y=kx+bl:y=kx+b（k>0k>0），圆 C1:x2+y2=1C_1:x^2+y^2=1，C2:(x−4)2+y2=1C_2:(x-4)^2+y^2=1，若直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 都相切，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}；b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
一个盒子里有 1 个红，1 个绿，2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ξ\xi，则 P(ξ=0)=‾P(\xi=0)=\underline{\hspace{2em}}；E(ξ)=‾E(\xi)=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
设 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 为单位向量，满足 ∣2e1−e2∣≤2|2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2|\le\sqrt2，a=e1+e2\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，b=3e1+e2\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2，设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则 cos⁡2θ\cos^2\theta 的最小值为______.

2020 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2bsin⁡A=3 a2b\sin A=\sqrt3\,a.
(1) 求角 BB； (2) 求 cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C\cos A+\cos B+\cos C 的取值范围.

2020 · 浙江 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱台 DEF−ABCDEF-ABC 中，面 ADFC⊥ADFC\perp 面 ABCABC，∠ACB=∠ACD=45∘\angle ACB=\angle ACD=45^\circ，DC=2BCDC=2BC.
(1) 证明：EF⊥DBEF\perp DB； (2) 求 DFDF 与面 DBCDBC 所成角的正弦值.

2020 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 中，a1=b1=c1=1a_1=b_1=c_1=1，cn+1=an+1−anc_{n+1}=a_{n+1}-a_n，cn+1=bnbn+2 cnc_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}\,c_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等比数列，且公比 q>0q>0，且 b1+b2=6b3b_1+b_2=6b_3，求 qq 与 ana_n 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且公差 d>0d>0，证明：c1+c2+⋯+cn<1+1dc_1+c_2+\cdots+c_n<1+\dfrac1d，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2020 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

2020 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 1<a≤21<a\le2，函数 f(x)=ex−x−af(x)=\mathrm{e}^x-x-a，其中 e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 证明：函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上有唯一零点； (2) 记 x0x_0 为函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的零点，证明：
(i) a−1≤x0≤2(a−1)\sqrt{a-1}\le x_0\le\sqrt{2(a-1)}； (ii) x0f(ex0)≥(e−1)(a−1)ax_0f(\mathrm{e}^{x_0})\ge(\mathrm{e}-1)(a-1)a.

2020 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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