已知函数 $f(x) = a x^3 + b x^2 + c x$ 在区间 $[0, 1]$ 上是增函数，在区间 $(-\infty, 0)$，$(1, +\infty)$ 上是减函数. 又 $f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 若在区间 $[0, m]$（$m > 0$）上恒有 $f(x) \leqslant x$ 成立，求 $m$ 的取值范围.