设 $k > 1$，$f(x) = k(x - 1)$（$x \in \mathbf{R}$）. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 点，它的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图象与 $y$ 轴交于 $B$ 点，并且这两个函数的图象交于 $P$ 点. 已知四边形 $OAPB$ 的面积是$3$，则 $k$ 等于（$\quad$）

设函数 $f(x) = -\frac{x}{1 + |x|}$（$x \in \mathbf{R}$），区间 $M = [a, b]$（$a < b$），集合 $N = \{y \mid y = f(x), x \in M\}$，则使 $M = N$ 成立的实数对 $(a, b)$ 有（$\quad$）

二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$（$x \in \mathbf{R}$）的部分对应值如下表：

则不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集是______.

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 $100\%$ 和 $50\%$，可能的最大亏损分别为 $30\%$ 和 $10\%$. 投资人计划投资金额不超过 $10\text{ 万元}$. 要求确保可能的资金亏损不超过 $1.8\text{ 万元}$. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大.

已知函数 $f(x)$（$x \in \mathbf{R}$）满足下列条件：对任意的实数 $x_1$，$x_2$ 都有 $\lambda(x_1 - x_2)^2 \leqslant (x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)]$ 和 $|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant |x_1 - x_2|$. 其中 $\lambda$ 是大于$0$的常数. 设实数 $a_0$，$a$，$b$ 满足 $f(a_0) = 0$ 和 $b = a - \lambda f(a)$.

(1) 证明：$\lambda \leqslant 1$，并且不存在 $b_0 \neq a_0$，使得 $f(b_0) = 0$； (2) 证明：$(b - a_0)^2\leqslant (1 - \lambda^2)(a - a_0)^2$； (3) 证明：$[f(b)]^{2}\leqslant(1-\lambda^{2})[f(a)]^{2}$.