一平面截一球得到直径是 $6 \mathrm{~cm}$ 的圆面，球心到这个平面的距离是 $4 \mathrm{~cm}$，则该球的体积是（$\quad$）

在棱长为 $4$ 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$O$ 是正方形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的中心，点 $P$ 在棱 $CC_{1}$ 上，且 $CC_{1} = 4CP$. 求：

(1) 直线 $AP$ 与平面 $BCC_{1}B_{1}$ 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2) 设 $O$ 点在平面 $D_{1}AP$ 上的射影是 $H$，求证：$D_{1}H \perp AP$； (3) 求点 $P$ 到平面 $ABD_{1}$ 的距离.