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共找到 24 题
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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x∣⩽2,x∈R}A = \{x \mid |x| \leqslant 2, x \in \mathbf{R}\}，B={x∣x⩽4,x∈Z}B = \{x \mid \sqrt{x} \leqslant 4, x \in \mathbf{Z}\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(0,2)(0,2)
B.
[0,2][0,2]
C.
{0,2}\{0,2\}
D.
{0,1,2}\{0,1,2\}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
已知复数 z=3+i(1−3i)2z = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{(1 - \sqrt{3}\mathrm{i})^2}，z‾\overline{z} 是 zz 的共轭复数，则 z⋅z‾=z \cdot \overline{z} =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=xx+2y = \frac{x}{x + 2} 在点 (−1,−1)(-1, -1) 处的切线方程为（ ）
A.
y=2x+1y = 2x + 1
B.
y=2x−1y = 2x - 1
C.
y=−2x−3y = -2x - 3
D.
y=−2x−2y = -2x - 2

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★★☆☆
如图，质点 PP 在半径为 22 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2,−2)P_{0}(\sqrt{2}, - \sqrt{2})，角速度为 11，那么点 PP 到 xx 轴的距离 dd 关于时间 tt 的函数图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知命题 p1p_{1}：函数 y=2x−2−xy = 2^{x} - 2^{-x} 在 R\mathbf{R} 上为增函数；p2p_{2}：函数 y=2x+2−xy = 2^{x} + 2^{-x} 在 R\mathbf{R} 上为减函数. 则在命题 q1:p1∨p2q_{1}: p_{1} \vee p_{2}，q2:p1∧p2q_{2}: p_{1} \wedge p_{2}，q3:(¬p1)∨p2q_{3}: (\neg p_{1}) \vee p_{2} 和 q4:p1∧(¬p2)q_{4}: p_{1} \wedge (\neg p_{2}) 中，真命题是（ ）
A.
q1q_{1}，q3q_{3}
B.
q2q_{2}，q3q_{3}
C.
q1q_{1}，q4q_{4}
D.
q2q_{2}，q4q_{4}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
某种种子每粒发芽的概率都为 0.90.9，现播种了 1000 粒1000\text{ 粒}. 对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒2\text{ 粒}，补种的种子数记为 XX，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
100100
B.
200200
C.
300300
D.
400400

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
如果执行如图所示的框图，输入 N=5N = 5，则输出的数等于（ ）
A.
54\frac{5}{4}
B.
45\frac{4}{5}
C.
65\frac{6}{5}
D.
56\frac{5}{6}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设偶函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=x3−8f(x) = x^3 - 8（x⩾0x \geqslant 0），则 {x∣f(x−2)>0}=\{x \mid f(x - 2) > 0\} =（ ）
A.
{x∣x<−2或x>4}\{x\mid x < -2 \text{或} x > 4\}
B.
{x∣x<0或x>4}\{x\mid x < 0 \text{或} x > 4\}
C.
{x∣x<0或x>6}\{x\mid x < 0 \text{或} x > 6\}
D.
{x∣x<−2或x>2}\{x\mid x < -2 \text{或} x > 2\}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡α=−45\cos \alpha = -\frac{4}{5}，α\alpha 是第三象限的角，则 1+tan⁡α21−tan⁡α2=\frac{1 + \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan \frac{\alpha}{2}} =（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
22
D.
−2-2

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 aa，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
πa2\pi a^2
B.
73πa2\frac{7}{3}\pi a^2
C.
113πa2\frac{11}{3}\pi a^2
D.
5πa25\pi a^{2}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={∣lg⁡x∣,0<x⩽10,−12x+6,x>10,f(x) = \begin{cases} |\lg x|, & 0 < x \leqslant 10,\\ - \frac{1}{2} x + 6, & x > 10, \end{cases}
若 aa，bb，cc 互不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)f(a) = f(b) = f(c)，则 abcabc 的取值范围是（ ）
A.
(1,10)(1,10)
B.
(5,6)(5,6)
C.
(10,12)(10,12)
D.
(20,24)(20,24)

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
已知双曲线 EE 的中心为原点，F(3,0)F(3,0) 是 EE 的焦点，过 FF 的直线 ll 与 EE 相交于 AA，BB 两点，且 ABAB 的中点为 N(−12,−15)N(-12, -15)，则 EE 的方程为（ ）
A.
x23−y26=1\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1
B.
x24−y25=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
C.
x26−y23=1\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{3} = 1
D.
x25−y24=1\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★★★☆☆
设 y=f(x)y = f(x) 为区间 [0,1][0,1] 上的连续函数，且恒有 0⩽f(x)⩽10 \leqslant f(x) \leqslant 1，可以用随机模拟方法近似计算积分 ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x. 先产生两组（每组 N 个N\text{ 个}）区间 [0,1][0,1] 上的均匀随机数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xNx_N 和 y1y_1，y2y_2，⋯\cdots，yNy_N，由此得到 N 个N\text{ 个}点 (xi,yi)(x_i, y_i)（i=1i = 1，22，⋯\cdots，NN），再数出其中满足 yi⩽f(xi)y_i \leqslant f(x_i)（i=1i = 1，22，⋯\cdots，NN）的点数 N1N_1，那么由随机模拟方法可得积分 ∫01f(x)dx\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x 的近似值为______.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
正视图为一个三角形的几何体可以是______.（写出三种）

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
过点 A(4,1)A(4,1) 的圆 CC 与直线 x−y−1=0x - y - 1 = 0 相切于点 B(2,1)B(2,1)，则圆 CC 的方程为______.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD 为边 BCBC 上一点，BD=12DCBD = \frac{1}{2} DC，∠ADB=120∘\angle ADB = 120^{\circ}，AD=2AD = 2，若 △ADC\triangle ADC 的面积为 3−33 - \sqrt{3}，则 ∠BAC=‾\angle BAC =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=2a_{1} = 2，an+1−an=3⋅22n−1a_{n+1} - a_{n} = 3 \cdot 2^{2n-1}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 bn=nanb_{n} = na_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CDAB \parallel CD，AC⊥BDAC \perp BD，垂足为 HH，PHPH 是四棱锥的高，EE 为 ADAD 中点.
(1) 证明：PE⊥BCPE \perp BC； (2) 若 ∠APB=∠ADB=60∘\angle APB = \angle ADB = 60^{\circ}，求直线 PAPA 与平面 PEHPEH 所成角的正弦值.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位500\text{ 位}老年人，结果如下：
(1) 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2) 能否有 99%99\% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3) 根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由.
附：
P(K2⩾k)P(K^2\geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\displaystyle K ^{2} = \frac {n (a d - b c) ^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左，右焦点，过 F1F_{1} 且斜率为 1 的直线 ll 与 EE 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AF2∣|AF_{2}|，∣AB∣|AB|，∣BF2∣|BF_{2}| 成等差数列.
(1) 求 EE 的离心率； (2) 设点 P(0,−1)P(0, -1) 满足 ∣PA∣=∣PB∣|PA| = |PB|，求 EE 的方程.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ex−1−x−ax2f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1 - x - ax^2.
(1) 若 a=0a = 0，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若当 x⩾0x \geqslant 0 时 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0，求 aa 的取值范围.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，已知圆上的弧 AC^=BD^\widehat{AC} = \widehat{BD}，过 CC 点的圆的切线与 BABA 的延长线交于 EE 点，证明：
(1) ∠ACE=∠BCD\angle ACE = \angle BCD； (2) BC2=BE⋅CDBC^{2} = BE\cdot CD.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知直线
C1:{x=1+tcos⁡α,y=tsin⁡α,C_1: \begin{cases} x = 1 + t\cos \alpha,\\ y = t\sin \alpha, \end{cases}
（tt 为参数），圆
C2:{x=cos⁡θ,y=sin⁡θ.C_2: \begin{cases} x = \cos \theta,\\ y = \sin \theta. \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 当 α=π3\alpha = \frac{\pi}{3} 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的交点坐标； (2) 过坐标原点 OO 作 C1C_{1} 的垂线，垂足为 AA，PP 为 OAOA 的中点，当 α\alpha 变化时，求点 PP 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x−4∣+1f(x) = |2x - 4| + 1.
(1) 画出函数 y=f(x)y = f(x) 的图象； (2) 若不等式 f(x)⩽axf(x) \leqslant ax 的解集非空，求 aa 的取值范围.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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