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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣−1<x<2}A = \{x \mid -1 < x < 2\}，集合 B={x∣1<x<3}B = \{x \mid 1 < x < 3\}，则 A∪B=A \cup B=（ ）
A.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1 < x < 3\}
B.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1 < x < 1\}
C.
{x∣1<x<2}\{x\mid 1 < x < 2\}
D.
{x∣2<x<3}\{x\mid 2 < x < 3\}

2015 · 四川 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(2,4)\boldsymbol{a} = (2,4) 与向量 b=(x,6)\boldsymbol{b} = (x,6) 共线，则实数 x=x =（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
66

2015 · 四川 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A.
抽签法
B.
系统抽样法
C.
分层抽样法
D.
随机数法

2015 · 四川 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，bb 为正实数，则“a>b>1a>b>1”是“log⁡2a>log⁡2b>0\log_2 a > \log_2 b > 0”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 四川 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
下列函数中，最小正周期为 π\pi 的奇函数是（ ）
A.
y=sin⁡(2x+π2)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
B.
y=cos⁡(2x+π2)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x

2015 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出 SS 的值为（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
过双曲线 x2−y23=1x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 AA，BB 两点，∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
B.
232 \sqrt{3}
C.
66
D.
434 \sqrt{3}

2015 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时\text{小时}）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by=\mathrm{e}^{kx+b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718\cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192 小时192\text{ 小时}，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 48 小时48\text{ 小时}，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是（ ）
A.
16 小时16\text{ 小时}
B.
20 小时20\text{ 小时}
C.
24 小时24\text{ 小时}
D.
28 小时28\text{ 小时}

2015 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{2x+y⩽10,x+2y⩽14,x+y⩾6\begin{cases} 2x + y \leqslant 10,\\ x + 2y \leqslant 14,\\ x + y \geqslant 6 \end{cases}
，则 xyxy 的最大值为（ ）
A.
252\frac{25}{2}
B.
492\frac{49}{2}
C.
1212
D.
1616

2015 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★★
设直线 ll 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 相交于 AA，BB 两点，与圆 (x−5)2+y2=r2(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}（r>0r > 0）相切于点 MM，且 MM 为线段 ABAB 的中点. 若这样的直线 ll 恰有 44 条，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(1,3)(1, 3)
B.
(1,4)(1, 4)
C.
(2,3)(2, 3)
D.
(2,4)(2, 4)

2015 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
设 i\mathrm{i} 是虚数单位，则复数 i−1i=‾\mathrm{i} - \frac{1}{\mathrm{i}} =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★☆☆☆☆
lg⁡0.01+log⁡216\lg 0.01 + \log_2 16 的值是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+2cos⁡α=0\sin \alpha + 2\cos \alpha = 0，则 2sin⁡αcos⁡α−cos⁡2α2\sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha 的值是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，其正视图和侧视图都是边长为 11 的正方形，俯视图是直角边长为 11 的等腰直角三角形. 设点 MM，NN，PP 分别是棱 ABAB，BCBC，B1C1B_{1}C_{1} 的中点，则三棱锥 P−A1MNP - A_{1}MN 的体积是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\}（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots）的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn=2an−a1S_n = 2a_n - a_1，且 a1a_1，a2+1a_2 + 1，a3a_3 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_n}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_n，求 TnT_n.

2015 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★★☆
一辆小客车上有 55 个座位，其座位号为 11，22，33，44，55. 乘客 P1P_1，P2P_2，P3P_3，P4P_4，P5P_5 的座位号分别为 11，22，33，44，55，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车. 乘客 P1P_1 因身体原因没有坐自己的 11 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 55 个座位的剩余空位中任意选择座位.
(1) 若乘客 P1P_1 坐到了 33 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 44 种坐法. 下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）：
\cline{2-6}32451
\cline{2-6}
\cline{2-6}
(2) 若乘客 P1P_1 坐到了 22 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 P5P_5 坐到 55 号座位的概率.

2015 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1) 请将字母 FF，GG，HH 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； (2) 判断平面 BEGBEG 与平面 ACHACH 的位置关系，并证明你的结论； (3) 证明：直线 DF⊥DF \perp 平面 BEGBEG.

2015 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的内角，tan⁡A\tan A，tan⁡B\tan B 是关于 xx 的方程 x2+3px−p+1=0x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0（p∈Rp \in \mathbf{R}）的两个实根.
(1) 求 CC 的大小； (2) 若 AB=3AB = 3，AC=6AC = \sqrt{6}，求 pp 的值.

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率是 22\frac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 在短轴 CDCD 上，且 PC‾⋅PD‾=−1\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过点 PP 的动直线与椭圆交于 AA，BB 两点. 是否存在常数 λ\lambda，使得 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 为定值？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2015 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2xln⁡x+x2−2ax+a2f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.

2015 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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