已知函数 $f(x) = 2^x$，$g(x) = x^2 + ax$（其中 $a \in \mathbf{R}$）. 对于不相等的实数 $x_1$，$x_2$，设 $m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$，$n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$，现有如下命题：

① 对于任意不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $m > 0$； ② 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $n > 0$； ③ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1$，$x_2$，使得 $m = n$； ④ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1$，$x_2$，使得 $m = -n$.

其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

已知函数 $f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2$，其中 $a > 0$.

(1) 设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论 $g(x)$ 的单调性； (2) 证明：存在 $a \in (0,1)$，使得 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，且 $f(x) = 0$ 在区间 $(1, +\infty)$ 内有唯一解.