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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时\text{小时}）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by=\mathrm{e}^{kx+b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718\cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192 小时192\text{ 小时}，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 48 小时48\text{ 小时}，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是（ ）
A.
16 小时16\text{ 小时}
B.
20 小时20\text{ 小时}
C.
24 小时24\text{ 小时}
D.
28 小时28\text{ 小时}

2015 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{2x+y⩽10,x+2y⩽14,x+y⩾6\begin{cases} 2x + y \leqslant 10,\\ x + 2y \leqslant 14,\\ x + y \geqslant 6 \end{cases}
，则 xyxy 的最大值为（ ）
A.
252\frac{25}{2}
B.
492\frac{49}{2}
C.
1212
D.
1616

2015 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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19三角函数★★★★☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的内角，tan⁡A\tan A，tan⁡B\tan B 是关于 xx 的方程 x2+3px−p+1=0x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0（p∈Rp \in \mathbf{R}）的两个实根.
(1) 求 CC 的大小； (2) 若 AB=3AB = 3，AC=6AC = \sqrt{6}，求 pp 的值.

2015 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率是 22\frac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 在短轴 CDCD 上，且 PC‾⋅PD‾=−1\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过点 PP 的动直线与椭圆交于 AA，BB 两点. 是否存在常数 λ\lambda，使得 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 为定值？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2015 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2xln⁡x+x2−2ax+a2f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.

2015 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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