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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=3xy = 3^x（x⩾0x \geqslant 0）的反函数是______.

1991 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02三角函数★★☆☆☆
已知 π<θ<32π\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi，cos⁡θ=−45\cos \theta = -\frac{4}{5}，则 cos⁡θ2=\cos \frac{\theta}{2} =______.

1991 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球体积的比值为______.

1991 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡(πx+2)y = \sin(\pi x + 2) 的最小正周期是______.

1991 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
椭圆 x2+4y2=1x^2 + 4y^2 = 1 的离心率是______.

1991 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
在无穷等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=33a_1 = 3\sqrt{3}，a3=3a_3 = \sqrt{3}. 则 lim⁡n→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{2n-1}) =______.

1991 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若母线长为 44 的圆锥的轴截面的面积为 88，则圆锥的侧面积为______（结果中保留 π\pi）.

1991 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x2−1x)6\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^6 的展开式中的常数项为______（结果用数值表示）.

1991 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=1x = 1 对称，若当 x⩽1x \leqslant 1 时，y=x2+1y = x^2 + 1，则当 x>1x > 1 时，y=y =______.

1991 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★☆☆☆
设有半径为 44 的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是 (4,π)(4,\pi)，则这圆的极坐标方程是______.

1991 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11集合与逻辑基础★★☆☆☆
若全集 I=RI = \mathbf{R}，A={x∣x+1⩽0}A = \{x \mid \sqrt{x + 1} \leqslant 0\}，B={x∣lg⁡(x2−2)=lg⁡x}B = \{x \mid \lg(x^2 - 2) = \lg x\}，则 A∩B‾A \cap \overline{B} 是（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{−1}\{-1\}
C.
{x∣x⩽−1}\{x \mid x \leqslant -1\}
D.
∅\varnothing

1991 · 上海 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 450，则 a2+a8a_2 + a_8 的值等于（ ）
A.
4545
B.
7575
C.
180180
D.
300300

1991 · 上海 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
设长方体的对角线的长度是 44，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是 60∘60^{\circ}，则此长方体的体积是（ ）
A.
32723\frac{32}{72}\sqrt{3}
B.
828\sqrt{2}
C.
838\sqrt{3}
D.
16316\sqrt{3}

1991 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14函数与初等函数★☆☆☆☆
下列各函数图象中，表示函数 y=x−1y = x^{-1} 的是（ ）
A.
B.
C.
D.

1991 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
下列四个命题中的假命题是（ ）
A.
存在这样的 α\alpha 和 β\beta 的值，使得 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
B.
不存在无穷多个 α\alpha 和 β\beta 的值，使得 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
C.
对于任意的 α\alpha 和 β\beta，cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
D.
不存在这样的 α\alpha 和 β\beta 的值，使得 cos⁡(α+β)≠cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

1991 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
设有编号为 11，22，33，44，55 的五个球和编号为 11，22，33，44，55 的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为（ ）
A.
2020
B.
3030
C.
6060
D.
120120

1991 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
下列四个式子中，正确的是（ ）
A.
sin⁡(arccos⁡23)>sin⁡(arccos⁡13)\sin\left(\arccos \frac{2}{3}\right) > \sin\left(\arccos \frac{1}{3}\right)
B.
tan⁡(arccos⁡23)>tan⁡(arccos⁡13)\tan\left(\arccos \frac{2}{3}\right) > \tan\left(\arccos \frac{1}{3}\right)
C.
sin⁡[arccos⁡(−23)]>sin⁡[arccos⁡(−13)]\sin\left[\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right] > \sin\left[\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right]
D.
tan⁡[arccos⁡(−23)]>tan⁡[arccos⁡(−13)]\tan\left[\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right] > \tan\left[\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right]

1991 · 上海 · 第 17 题 · 选择题

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18立体几何初步★★☆☆☆
设直线 aa 在平面 MM 内，则平面 MM 平行于平面 NN 是直线 aa 平行于平面 NN 的（ ）
A.
充分条件但非必要条件
B.
必要条件但非充分条件
C.
充分必要条件
D.
非充分条件也非必要条件

1991 · 上海 · 第 18 题 · 选择题

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19解析几何★★☆☆☆
下列参数方程（tt 为参数）与普通方程 x2−y=0x^2 - y = 0 表示同一曲线的方程是（ ）
A.
{x=∣t∣,y=t2,\begin{cases} x = |t|,\\ y = t^2, \end{cases}
B.
{x=cos⁡t,y=cos⁡2t,\begin{cases} x = \cos t,\\ y = \cos^2 t, \end{cases}
C.
{x=tan⁡t,y=1+cos⁡2t1−cos⁡2t,\begin{cases} x = \tan t,\\ y = \frac{1 + \cos 2t}{1 - \cos 2t}, \end{cases}
D.
{x=tan⁡t,y=1−cos⁡2t1+cos⁡2t,\begin{cases} x = \tan t,\\ y = \frac{1 - \cos 2t}{1 + \cos 2t}, \end{cases}

1991 · 上海 · 第 19 题 · 选择题

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20解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设曲线 4x2−y2=44x^2 - y^2 = 4 的一条倾角为锐角的渐近线为 LL，现在平移坐标轴，把原点 OO 移到 O′(3,−4)O'(3,-4)，则渐近线 LL 在新坐标系 x′O′y′x'O'y' 中的方程是（ ）
A.
2x′−y′+10=02x' - y' + 10 = 0
B.
2x′−y′−10=02x' - y' - 10 = 0
C.
2x′+y′+2=02x' + y' + 2 = 0
D.
2x′+y′−2=02x' + y' - 2 = 0

1991 · 上海 · 第 20 题 · 选择题

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21三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡(x−34π)cos⁡(x−π4)=−14\sin\left(x - \frac{3}{4}\pi\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4}，求 cos⁡4x\cos 4x 的值.

1991 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这抛物线轨道的焦点处. 当此彗星离地球为 dd（万公里）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 30∘30^{\circ}. 求这彗星与地球的最短距离.

1991 · 上海 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
解关于实数 xx 的不等式 ∣(log⁡ax)2−1∣>2a−1\left|(\log_a x)^2 - 1\right| > 2a - 1，其中 a>0a > 0，a≠1a \neq 1.

1991 · 上海 · 第 23 题 · 解答题

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24立体几何初步★★★★☆
如图，设 △ABC\triangle ABC 和 △DBC\triangle DBC 所在的两平面互相垂直，且 AB=BC=BDAB = BC = BD，∠CBA=∠DBC=120∘\angle CBA = \angle DBC = 120^{\circ}. 求
(1) AA，DD 的连线和平面 BCDBCD 所成的角； (2) AA，DD 的连线和直线 BCBC 所成的角； (3) 二面角 A−BD−CA-BD-C 的大小（用反三角函数表示）.

1991 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25复数★★★★☆
(1) 设复数 zz 的辐角为 θ\theta（0⩽θ<π0 \leqslant \theta < \pi），且满足等式 ∣z−i∣=1|z - \mathrm{i}| = 1，求复数 z2−ziz^2 - z\mathrm{i} 的辐角（用含 θ\theta 的式子表示），其中 i\mathrm{i} 为虚数单位； (2) 设复数 zz 满足等式 ∣z−i∣=1|z - \mathrm{i}| = 1，且 z≠0z \neq 0，z≠2iz \neq 2\mathrm{i}. 又复数 ω\omega 使得 ωω−2i⋅z−2iz\frac{\omega}{\omega - 2\mathrm{i}} \cdot \frac{z - 2\mathrm{i}}{z} 为实数. 问复数 ω\omega 在复平面上所对应的点 ZZ 的集合是什么图形，并说明理由.

1991 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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