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01复数★☆☆☆☆
复数 z1=3+iz_{1} = 3 + \mathrm{i}，z2=1−iz_{2} = 1 - \mathrm{i}，则 z=z1⋅z2z = z_{1} \cdot z_{2} 在复平面内的对应点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 I={a,b,c,d,e}I = \{a, b, c, d, e\}，集合 M={a,c,d}M = \{a, c, d\}，N={b,d,e}N = \{b, d, e\}，那么 M∩NM \cap N 是（ ）
A.
∅\varnothing
B.
{d}\{d\}
C.
{a,c}\{a, c\}
D.
{b,e}\{b, e\}

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03解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2b2−y2a2=1\frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
32\frac{3}{2}

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04解析几何★★☆☆☆
曲线 xy=1xy=1 的参数方程是（ ）
A.
{x=t12,y=t−12\begin{cases} x=t^{\frac{1}{2}},\\ y=t^{-\frac{1}{2}} \end{cases}
B.
{x=sin⁡α,y=csc⁡α\begin{cases} x=\sin\alpha,\\ y=\csc\alpha \end{cases}
C.
{x=cos⁡α,y=sec⁡α\begin{cases} x=\cos\alpha,\\ y=\sec\alpha \end{cases}
D.
{x=tan⁡α,y=cot⁡α\begin{cases} x=\tan\alpha,\\ y=\cot\alpha \end{cases}

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05立体几何初步★☆☆☆☆
一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A.
1:31:3
B.
2:32:3
C.
1:21:2
D.
2:92:9

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
直线 θ=α\theta=\alpha 和直线 ρsin⁡(θ−α)=1\rho\sin\left(\theta-\alpha\right)=1 的位置关系是（ ）
A.
垂直
B.
平行
C.
相交但不垂直
D.
重合

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=lg⁡∣x∣y=\lg|x|（ ）
A.
是偶函数，在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上单调递增
B.
是偶函数，在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上单调递减
C.
是奇函数，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增
D.
是奇函数，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
从单词“equation”选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）
A.
120120 个
B.
480480 个
C.
720720 个
D.
840840 个

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09解析几何★★☆☆☆
椭圆短轴长是 2，长轴长是短轴的 2 倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）
A.
855\frac{8}{5}\sqrt{5}
B.
455\frac{4}{5}\sqrt{5}
C.
833\frac{8}{3}\sqrt{3}
D.
433\frac{4}{3}\sqrt{3}

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=12+sin⁡x+cos⁡xy=\frac{1}{2+\sin x+\cos x} 的最大值是（ ）
A.
22−1\frac{\sqrt{2}}{2}-1
B.
22+1\frac{\sqrt{2}}{2}+1
C.
1−221-\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
−1−22-1-\frac{\sqrt{2}}{2}

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★★★☆☆
设复数 z1=2sin⁡θ+icos⁡θz_{1}=2\sin\theta+\mathrm{i}\cos\theta（π4<θ<π2\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2}）在复平面上对应向量 OZ1→\overrightarrow{OZ_{1}}，将 OZ1→\overrightarrow{OZ_{1}} 按顺时针方向旋转 3π4\frac{3\pi}{4} 后得到向量 OZ2→\overrightarrow{OZ_{2}}，OZ2→\overrightarrow{OZ_{2}} 对应的复数为 z2=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z_{2}=r\left(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\right)，则 tan⁡φ=\tan\varphi=（ ）
A.
2tan⁡θ+12tan⁡θ−1\frac{2\tan\theta+1}{2\tan\theta-1}
B.
2tan⁡θ−12tan⁡θ+1\frac{2\tan\theta-1}{2\tan\theta+1}
C.
12tan⁡θ+1\frac{1}{2\tan\theta+1}
D.
12tan⁡θ−1\frac{1}{2\tan\theta-1}

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
设 α\alpha，β\beta 是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）
A.
tan⁡αtan⁡β<1\tan\alpha\tan\beta<1
B.
sin⁡α+sin⁡β<2\sin\alpha+\sin\beta<\sqrt{2}
C.
cos⁡α+cos⁡β>1\cos\alpha+\cos\beta>1
D.
12tan⁡(α+β)<tan⁡α+β2\frac{1}{2}\tan\left(\alpha+\beta\right)<\tan\frac{\alpha+\beta}{2}

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1+a2+a3+⋯+a101=0a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots+a_{101}=0，则有（ ）
A.
a1+a101>0a_{1}+a_{101}>0
B.
a2+a100<0a_{2}+a_{100}<0
C.
a3+a99=0a_{3}+a_{99}=0
D.
a51=51a_{51}=51

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d 的图象如图，则（ ）
A.
b∈(−∞,0)b\in(-\infty,0)
B.
b∈(0,1)b\in(0,1)
C.
b∈(1,2)b\in(1,2)
D.
b∈(2,+∞)b\in(2,+\infty)

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15三角函数★☆☆☆☆
函数 y=cos⁡(2π3x+π4)y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}x+\frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期是______.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知一体积为 7272 的正四面体，连接两个面的重心 EE，FF，则线段 EFEF 的长是______.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−1x3)10\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{10} 展开式中的常数项是______.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★☆☆☆
在空间，有下列命题：
① 如果两直线 aa，bb 分别与直线 ll 平行，那么 a∥ba\parallel b； ② 如果直线 aa 与平面 β\beta 内的一条直线 bb 平行，那么 a∥βa\parallel\beta； ③ 如果直线 aa 与平面 β\beta 内的两条直线 bb，cc 都有垂直，那么 a⊥βa\perp\beta； ④ 如果平面 β\beta 内的一条直线 aa 垂直平面 γ\gamma，那么 β⊥γ\beta\perp\gamma.
其中正确的命题的序号是______.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc，证明：a2−b2c2=sin⁡(A−B)sin⁡C\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin\left(A-B\right)}{\sin C}.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
在直角梯形 ABCDABCD 中，∠D=∠BAD=90∘\angle D=\angle BAD=90^{\circ}，AD=DC=12AB=aAD=DC=\frac{1}{2}AB=a（如图一）. 将 △ADC\triangle ADC 沿 ACAC 折起，使 DD 到 D′D'. 记面 ACD′ACD' 为 α\alpha，面 ABCABC 为 β\beta，面 BCD′BCD' 为 γ\gamma.
(1) 若二面角 α−AC−β\alpha-AC-\beta 为直二面角（如图二），求二面角 β−BC−γ\beta-BC-\gamma 的大小； (2) 若二面角 α−AC−β\alpha-AC-\beta 为 60∘60^{\circ}（如图三），求三棱锥 D′−ABCD'-ABC 的体积.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣lg⁡x∣f(x)=|\lg x|，若 0<a<b0<a<b，且 f(a)>f(b)f(a)>f(b)，证明：ab<1ab<1.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，设点 AA 和 BB 为抛物线 y2=4pxy^{2}=4px（p>0p>0）上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OBOA\perp OB，OM⊥ABOM\perp AB. 求点 MM 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
某地区上年度电价为 0.8 元(kW⋅h)0.8\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW}\cdot\mathrm{h})}，年用电量为 a kW⋅ha\mathrm{~kW\cdot h}. 本年度计划将电价降到 0.55 元(kW⋅h)0.55\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW}\cdot\mathrm{h})} 至 0.75 元(kW⋅h)0.75\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW}\cdot\mathrm{h})} 之间，而用户期望电价为 0.4 元(kW⋅h)0.4\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW}\cdot\mathrm{h})}. 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为 kk）. 该地区电力的成本为 0.3 元(kW⋅h)0.3\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW}\cdot\mathrm{h})}.
(1) 写出本年度电价下调后，电力部门的收益 yy 与实际电价 xx 的函数关系式； (2) 设 k=0.2ak=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%.
注：收益=实际用电量 ×\times（实际电价-成本价）.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={f1(x),x∈[0,12),f2(x),x∈[12,1],f(x)=\begin{cases} f_{1}(x),&x\in\left[0,\frac{1}{2}\right),\\ f_{2}(x),&x\in\left[\frac{1}{2},1\right], \end{cases}
其中 f1(x)=−2(x−12)2+1f_{1}(x)=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+1，f2(x)=−2x+2f_{2}(x)=-2x+2.
(1) 在下面坐标系上画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 设 y=f2(x)y=f_{2}(x)（x∈[12,1]x\in\left[\frac{1}{2},1\right]）的反函数为 y=g(x)y=g(x)，a1=1a_{1}=1，a2=g(a1)a_{2}=g(a_{1})，…\dots，an=g(an−1)a_{n}=g(a_{n-1})，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式，并求 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}； (3) 若 x0∈[0,12)x_{0}\in\left[0,\frac{1}{2}\right)，x1=f(x0)x_{1}=f(x_{0})，f(x1)=x0f(x_{1})=x_{0}，求 x0x_{0}.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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