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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设命题 p:∀x∈Rp: \forall x \in \mathbf{R}，x2+1>0x^2 + 1 > 0，则 ¬p\neg p 为（ ）
A.
∃x0∈R,x02+1>0\exists x_0 \in \mathbf{R}, x_0^2 + 1 > 0
B.
∃x0∈R\exists x_0 \in \mathbf{R}，x02+1⩽0x_0^2 + 1 \leqslant 0
C.
∃x0∈R\exists x_0 \in \mathbf{R}，x02+1<0x_0^2 + 1 < 0
D.
∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，x2+1⩽0x^2 + 1 \leqslant 0

2014 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x>2}A = \{x \mid x > 2\}，B={x∣1<x<3}B = \{x \mid 1 < x < 3\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{x∣x>2}\{x \mid x > 2\}
B.
{x∣x>1}\{x \mid x > 1\}
C.
{x∣2<x<3}\{x\mid 2 < x < 3\}
D.
{x∣1<x<3}\{x\mid 1 < x < 3\}

2014 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
对一个容量为 NN 的总体抽取容量为 nn 的样本，当选取简单随机抽样，系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2<p3p_1 = p_2 < p_3
B.
p2=p3<p1p_2 = p_3 < p_1
C.
p1=p3<p2p_1 = p_3 < p_2
D.
p1=p2=p3p_1 = p_2 = p_3

2014 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，既是偶函数又在区间 (−∞,0)(- \infty, 0) 上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^{2}}
B.
f(x)=x2+1f(x) = x^{2} + 1
C.
f(x)=x3f(x) = x^{3}
D.
f(x)=2−xf(x) = 2^{-x}

2014 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
在区间 [−2,3][-2,3] 上随机选取一个数 XX，则 X⩽1X \leqslant 1 的概率为（ ）
A.
45\frac{4}{5}
B.
35\frac{3}{5}
C.
25\frac{2}{5}
D.
15\frac{1}{5}

2014 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
若圆 C1:x2+y2=1C_1: x^2 + y^2 = 1 与圆 C2:x2+y2−6x−8y+m=0C_2: x^2 + y^2 - 6x - 8y + m = 0 外切，则 m=m =（ ）
A.
21
B.
19
C.
9
D.
−11-11

2014 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入的 t∈[−2,2]t \in [-2, 2]，则输出的 SS 属于（ ）
A.
[−6,−2][-6, - 2]
B.
[−5,−1][-5, - 1]
C.
[−4,5][-4, 5]
D.
[−3,6][-3,6]

2014 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★★☆
若 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1，则（ ）
A.
ex2−ex1>ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} > \ln x_2 - \ln x_1
B.
ex2−ex1<ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} < \ln x_2 - \ln x_1
C.
x2ex1>x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} > x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}
D.
x2ex1<x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} < x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}

2014 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0). 动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\right| 的取值范围是（ ）
A.
[4, 6]
B.
[19−1,19+1][\sqrt{19} - 1, \sqrt{19} + 1]
C.
[23,27][2\sqrt{3}, 2\sqrt{7}]
D.
[7−1,7+1][\sqrt{7} - 1, \sqrt{7} + 1]

2014 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
复数 3+ii2\frac{3 + \mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}（i\mathrm{i} 为虚数单位）的实部等于______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★☆☆☆☆
在平面直角坐标系中，曲线
C:{x=2+22t,y=1+22t,C: \begin{cases} x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t,\\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数）的普通方程______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽4,y⩾1,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 4,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)F(1,0) 的距离和到直线 x=−1x = -1 的距离相等. 若机器人接触不到过点 P(−1,0)P(-1,0) 且斜率为 kk 的直线，则 kk 的取值范围是______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=ln⁡(e3x+1)+axf(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{3x} + 1\right) + ax 是偶函数，则 a=a =______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2+n2S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=2an+(−1)nanb_{n} = 2^{a_{n}} + (-1)^{n}a_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 2n2n 项和.

2014 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业有甲，乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a,b)(a, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})，(a,b)(a, b)，(a‾,b)(\overline{a}, b)，(a‾,b‾)(\overline{a}, \overline{b})， (a,b)(a, b)，(a,b)(a, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})，(a‾,b)(\overline{a}, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})， (a‾,b‾)(\overline{a}, \overline{b})，(a,b)(a, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})，(a‾,b)(\overline{a}, b)，(a,b)(a, b)，其中 aa，a‾\overline{a} 分别表示甲组研发成功和失败；bb，b‾\overline{b} 分别表示乙组研发成功和失败.
(1) 若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分，试计算甲，乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲，乙两组的研发水平； (2) 若该企业安排甲，乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.

2014 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，已知二面角 α−MN−β\alpha - MN - \beta 的大小为 60∘60^{\circ}，菱形 ABCDABCD 在面 β\beta 内，AA，BB 两点在棱 MNMN 上，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}，EE 是 ABAB 的中点，DO⊥DO \perp 面 α\alpha，垂足为 OO.
(1) 证明： AB⊥AB \perp 平面 ODEODE； (2) 求异面直线 BCBC 与 ODOD 所成角的余弦值.

2014 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，DA⊥ABDA \perp AB，DE=1DE = 1，EC=7EC = \sqrt{7}，EA=2EA = 2，∠ADC=2π3\angle ADC = \frac{2\pi}{3}，∠BEC=π3\angle BEC = \frac{\pi}{3}.
(1) 求 sin⁡∠CED\sin \angle CED 的值； (2) 求 BEBE 的长.

2014 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
如图，OO 为坐标原点，双曲线 C1:x2a12−y2b12=1C_{1}:\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1（a1>0a_{1} > 0，b1>0b_{1} > 0） 和椭圆 C2:y2a22+x2b22=1C_{2}:\frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1（a2>b2>0a_{2} > b_{2} > 0） 均过点 P(233,1)P\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},1\right)，且以 C1C_{1} 的两个顶点和 C2C_{2} 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 22 的正方形.
(1) 求 C1C_1，C2C_2 的方程； (2) 是否存在直线 ll，使得 ll 与 C1C_1 交于 AA，BB 两点，与 C2C_2 只有一个公共点，且 ∣OA→+OB→∣=∣AB→∣\left|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|，证明你的结论.

2014 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xcos⁡x−sin⁡x+1f(x) = x \cos x - \sin x + 1（x>0x > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 记 xix_{i} 为 f(x)f(x) 的从小到大的第 ii（i∈N∗i \in \mathbf{N}^{*}）个零点，证明：对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，有 1x12+1x22+⋯+1xn2<23\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \cdots + \frac{1}{x_n^2} < \frac{2}{3}.

2014 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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