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16
数列
★★★☆☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
=
n
2
+
n
2
S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}
S
n
=
2
n
2
+
n
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (2) 设
b
n
=
2
a
n
+
(
−
1
)
n
a
n
b_{n} = 2^{a_{n}} + (-1)^{n}a_{n}
b
n
=
2
a
n
+
(
−
1
)
n
a
n
，求数列
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的前
2
n
2n
2
n
项和.
2014 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题
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21
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
x
cos
x
−
sin
x
+
1
f(x) = x \cos x - \sin x + 1
f
(
x
)
=
x
cos
x
−
sin
x
+
1
（
x
>
0
x > 0
x
>
0
）.
(1) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间； (2) 记
x
i
x_{i}
x
i
为
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的从小到大的第
i
i
i
（
i
∈
N
∗
i \in \mathbf{N}^{*}
i
∈
N
∗
）个零点，证明：对一切
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
，有
1
x
1
2
+
1
x
2
2
+
⋯
+
1
x
n
2
<
2
3
\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \cdots + \frac{1}{x_n^2} < \frac{2}{3}
x
1
2
1
+
x
2
2
1
+
⋯
+
x
n
2
1
<
3
2
.
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