数迹
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01复数★☆☆☆☆
在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）
A.
2(cos⁡π4−isin⁡π4)2\left(\cos \frac{\pi}{4} - \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)
B.
2(cos⁡π4+isin⁡π4)2\left(\cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)
C.
2(sin⁡π4+icos⁡π4)2\left(\sin \frac{\pi}{4} + \mathrm{i}\cos \frac{\pi}{4}\right)
D.
−2(sin⁡π4−icos⁡π4)-2\left(\sin \frac{\pi}{4} - \mathrm{i}\cos \frac{\pi}{4}\right)

1986 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=5x+1y = 5^x + 1 的反函数是（ ）
A.
y=log⁡5(x+1)y = \log_5(x + 1)
B.
y=log⁡x5+1y = \log_x 5 + 1
C.
y=log⁡5(x−1)y = \log_5(x - 1)
D.
y=log⁡(x−1)5y = \log_{\left(x - 1\right)} 5

1986 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8}I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}，A={3,4,5}A=\{3,4,5\}，B={1,3,6}B=\{1,3,6\}，那么集合 {2,7,8}\{2,7,8\} 是（ ）
A.
A∪BA\cup B
B.
A∩BA\cap B
C.
A‾∪B‾\overline{A}\cup\overline{B}
D.
A‾∩B‾\overline{A}\cap\overline{B}

1986 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★☆☆☆☆
函数 y=2sin⁡2xcos⁡2xy=\sqrt{2}\sin 2x\cos 2x 是（ ）
A.
周期为 π2\frac{\pi}{2} 的奇函数
B.
周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数
C.
周期为 π4\frac{\pi}{4} 的奇函数
D.
周期为 π4\frac{\pi}{4} 的偶函数

1986 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 c>0c>0，在下列不等式中成立的一个是（ ）
A.
c>2cc>2^c
B.
c>(12)cc>\left(\frac{1}{2}\right)^c
C.
2c<(12)c2^c<\left(\frac{1}{2}\right)^c
D.
2c>(12)c2^c>\left(\frac{1}{2}\right)^c

1986 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
有以下 2020 个数：8787，9191，9494，8888，9393，9191，8989，8787，9292，8686，9090，9292，8888，9090，9191，8686，8989，9292，9595，8888，它们的和是（ ）
A.
17891789
B.
17991799
C.
18791879
D.
18991899

1986 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知某正方体对角线长为 aa，那么这个正方体的全面积是（ ）
A.
22a22\sqrt{2}a^2
B.
2a22a^2
C.
23a22\sqrt{3}a^2
D.
32a23\sqrt{2}a^2

1986 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0（D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0）所表示的曲线关于直线 y=xy = x 对称，那么必有（ ）
A.
D=ED = E
B.
D=FD = F
C.
E=FE = F
D.
D=E=FD = E = F

1986 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★★☆☆
设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（ ）
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

1986 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
在下列各图中，y=ax2+bxy = ax^2 + bx 与 y=ax+by = ax + b（ab≠0ab \neq 0）的图象只可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
求方程 25x2+x−0.5=54\sqrt{25^{x^2 + x - 0.5}} = \sqrt[4]{5} 的解.

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12复数★☆☆☆☆
已知 ω=−1−3i2\omega = \frac{-1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}，求 ω2+ω+1\omega^2 + \omega + 1 的值.

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13立体几何初步★★☆☆☆
在 xOyxOy 平面上，△ABC\triangle ABC 的三个顶点坐标依次为 (0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)，(0,3)(0,3)，将这个三角形绕 xx 轴旋转一周，求所得到的几何体的体积.

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14数列★☆☆☆☆
求 lim⁡n→∞2n2+n+75n2+4\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2 + n + 7}{5n^2 + 4}.

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
求 (2x3−1x2)5\left(2x^3 - \frac{1}{x^2}\right)^5 展开式中的常数项.

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16解析几何★★☆☆☆
求与椭圆 x29+y24=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 有公共焦点，且离心率为 52\frac{\sqrt{5}}{2} 的双曲线方程.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，PAPA 垂直于圆 OO 所在的平面，CC 是圆周上不同于 AA，BB 的任一点，求证：平面 PACPAC 垂直于平面 PBCPBC.

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18复数★★★☆☆
求满足方程 ∣z+3−3i∣=3|z + 3 - \sqrt{3}\mathrm{i}| = \sqrt{3} 的辐角主值最小的复数 zz.

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=x+1y^2 = x + 1，定点 A(3,1)A(3,1)，BB 为抛物线上任意一点，点 PP 在线段 ABAB 上，且有 BP:PA=1:2BP:PA = 1:2，当点 BB 在抛物线上变动时，求点 PP 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线.

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20计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲，乙，丙，丁四个公司承包 88 项工程，甲公司承包 33 项，乙公司承包 11 项，丙，丁两个公司各承包 22 项，问共有多少种承包方式.

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21三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡A+sin⁡3A+sin⁡5A=a\sin A + \sin 3A + \sin 5A = a，cos⁡A+cos⁡3A+cos⁡5A=b\cos A + \cos 3A + \cos 5A = b. 求证：
(1) 当 b≠0b \neq 0 时，tan⁡3A=ab\tan 3A = \frac{a}{b}； (2) (1+2cos⁡2A)2=a2+b2\left(1 + 2\cos 2A\right)^2 = a^2 + b^2.

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22数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\}，其中 a1=43a_1 = \frac{4}{3}，a2=139a_2 = \frac{13}{9}，且当 n⩾3n \geqslant 3 时，an−an−1=13(an−1−an−2)a_n - a_{n-1} = \frac{1}{3}\left(a_{n-1} - a_{n-2}\right).
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

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