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01★☆☆☆☆
函数 f(x)=x2+1f(x)=x^{2}+1（x⩽0x\leqslant 0）的反函数 f−1(x)=‾f^{-1}(x)=\underline{\hspace{2em}}.

2001 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02★☆☆☆☆
若复数 zz 满足方程 zi=i−1z\mathrm{i}=\mathrm{i}-1（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 z=‾z=\underline{\hspace{2em}}.

2001 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡x1−cos⁡xy=\frac{\sin x}{1-\cos x} 的最小正周期为______.

2001 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04★☆☆☆☆
二项式 (x+1x)6\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6} 的展开式中常数项的值为______.

2001 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05★☆☆☆☆
若双曲线的一个顶点坐标为 (3,0)(3,0)，焦距为 1010，则它的标准方程为______.

2001 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06★☆☆☆☆
圆心在直线 y=xy=x 上且与 xx 轴相切于点 (1,0)(1,0) 的圆的方程为______.

2001 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞(n+3n+1)n=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n}=\underline{\hspace{2em}}.

2001 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08★☆☆☆☆
若向量 α\alpha，β\beta 满足 ∣α+β∣=∣α−β∣|\alpha+\beta|=|\alpha-\beta|，则 α\alpha 与 β\beta 所成角的大小为______.

2001 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09★☆☆☆☆
在大小相同的 66 个球中，22 个红球，44 个是白球. 若从中任意选取 33 个，则所选的 33 个球中至少有 11 个红球的概率是______.（结果用分数表示）

2001 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10★☆☆☆☆
若记号“”表示求两个实数 aa 与 bb 的算术平均数的运算，即 a∗b=a+b2a\ast b=\frac{a+b}{2}，则两边均含有运算符号“”和“+”，且对于任意 33 个实数 aa，bb，cc 都能成立的一个等式可以是______.

2001 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11★☆☆☆☆
关于 xx 的函数 f(x)=sin⁡(x+φ)f(x)=\sin(x+\varphi) 有以下命题：
① 对任意的 φ\varphi，f(x)f(x) 都是非奇非偶函数； ② 不存在 φ\varphi，使 f(x)f(x) 既是奇函数，又是偶函数； ③ 存在 φ\varphi，使 f(x)f(x) 是奇函数； ④ 对任意的 φ\varphi，f(x)f(x) 都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是______. 因为当 φ=‾\varphi=\underline{\hspace{2em}} 时，该命题的结论不成立.

2001 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12★☆☆☆☆
甲，乙两人于同一天分别携款 1 万元1\text{ 万元} 到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%2.88\%. 乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%2.25\%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄. 按规定每次计息时，储户须交纳利息的 20%20\% 作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为______元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到 11 分）

2001 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13★☆☆☆☆
若 aa，bb 为实数，则 a>b>0a>b>0 是 a2>b2a^{2}>b^{2} 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分条件也非必要条件

2001 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14★☆☆☆☆
若直线 x=1x=1 的倾斜角为 α\alpha，则 α\alpha（ ）
A.
等于 00
B.
等于 π4\frac{\pi}{4}
C.
等于 π2\frac{\pi}{2}
D.
不存在

2001 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15★☆☆☆☆
若有平面 α\alpha 与 β\beta，且 α∩β=l\alpha\cap\beta=l，α⊥β\alpha\perp\beta，P∈αP\in\alpha，P∉lP\notin l，则下列命题中的假命题为（ ）
A.
过点 PP 且垂直于 α\alpha 的直线平行于 β\beta
B.
过点 PP 且垂直于 ll 的平面垂直于 β\beta
C.
过点 PP 且垂直于 β\beta 的直线在 α\alpha 内
D.
过点 PP 且垂直于 ll 的直线在 α\alpha 内

2001 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 前 88 项的值各异，且 an+8=ana_{n+8}=a_n 对任意的 n∈Nn\in\mathbf{N} 都成立，则下列数列中可取遍 {an}\{a_n\} 前 88 项值的数列为（ ）
A.
{a2k+1}\{a_{2k+1}\}
B.
{a3k+1}\{a_{3k+1}\}
C.
{a4k+1}\{a_{4k+1}\}
D.
{a6k+1}\{a_{6k+1}\}

2001 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17★☆☆☆☆
已知 R\mathbf{R} 为全集，A={x∣log⁡12(3−x)⩾−2}A=\{x\mid \log_{\frac{1}{2}}(3-x)\geqslant -2\}，B={x∣5x+2⩾1}B=\{x\mid \frac{5}{x+2}\geqslant 1\}，求 A‾∩B\overline{A}\cap B.

2001 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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18★☆☆☆☆
已知 2sin⁡2α+sin⁡2α1+tan⁡α=k\frac{2\sin^{2}\alpha+\sin 2\alpha}{1+\tan\alpha}=k（π4<α<π2\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}），试用 kk 表示 sin⁡α−cos⁡α\sin\alpha-\cos\alpha 的值.

2001 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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19★☆☆☆☆
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米2\text{ 平方米} 的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为 h 米h\text{ 米}，盖子边长为 a 米a\text{ 米}.
(1) 求 aa 关于 hh 的函数解析式； (2) 设容器的容积为 V 立方米V\text{ 立方米}，则当 hh 为何值时，VV 最大？求出 VV 的最大值.
注：求解本题时，不计容器的厚度.

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20★☆☆☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，点 EE，FF 分别在 BB1BB_{1}，DD1DD_{1} 上，且 AE⊥A1BAE\perp A_{1}B，AF⊥A1DAF\perp A_{1}D.
(1) 求证：A1C⊥A_{1}C\perp 平面 AEFAEF； (2) 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等. 试根据上述定理，在 AB=4AB=4，AD=3AD=3，AA1=5AA_{1}=5 时，求平面 AEFAEF 与平面 D1B1BDD_{1}B_{1}BD 所成的角的大小.（用反三角函数值表示）

2001 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21★☆☆☆☆
已知椭圆 CC 的方程为 x2+y22=1x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1，点 P(a,b)P(a,b) 的坐标满足 a2+b22⩽1a^{2}+\frac{b^{2}}{2}\leqslant 1. 过点 PP 的直线 ll 与椭圆交于 AA，BB 两点，点 QQ 为线段 ABAB 的中点，求：
(1) 点 QQ 的轨迹方程； (2) 点 QQ 的轨迹与坐标轴的交点的个数.

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22★☆☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是首项为 22，公比为 12\frac{1}{2} 的等比数列，SnS_n 为它的前 nn 项和.
(1) 用 SnS_n 表示 Sn+1S_{n+1}； (2) 是否存在自然数 cc 和 kk，使得 Sk+1−cSk−c>2\frac{S_{k+1}-c}{S_k-c}>2 成立.

2001 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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