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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 I={x∣∣x∣<3, x∈Z}I=\{x\mid |x|<3,\ x\in\mathbf{Z}\}，A={1,2}A=\{1,2\}，B={−2,−1,2}B=\{-2,-1,2\}，则 A∪(∁IB)=A\cup(\complement_I B)=（ ）
A.
{1}\{1\}
B.
{1,2}\{1,2\}
C.
{2}\{2\}
D.
{0,1,2}\{0,1,2\}

2005 · 江西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设复数：z1=1+iz_1=1+\mathrm{i}，z2=x+2iz_2=x+2\mathrm{i}（x∈Rx\in\mathbf{R}）. 若 z1z2z_1z_2 为实数，则 x=x=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2005 · 江西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
“a=ba=b”是“直线 y=x+2y=x+2 与圆 (x−a)2+(y+b)2=2(x-a)^2+(y+b)^2=2 相切”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2005 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+x3)12(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})^{12} 的展开式中，含 xx 的正整数次幂的项共有（ ）
A.
44 项
B.
33 项
C.
22 项
D.
11 项

2005 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡3x+∣sin⁡3x∣f(x)=\sin 3x+|\sin 3x|，则 f(x)f(x) 为（ ）
A.
周期函数，最小正周期为 π3\frac{\pi}{3}
B.
周期函数，最小正周期为 2π3\frac{2\pi}{3}
C.
周期函数，最小正周期为 2π2\pi
D.
非周期函数

2005 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a}=(1,2)，b=(−2,−4)\boldsymbol{b}=(-2,-4)，∣c∣=5|\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}，若 (a+b)⋅c=52(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\frac{5}{2}，则 a\boldsymbol{a} 与 c\boldsymbol{c} 的夹角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
120∘120^{\circ}
D.
150∘150^{\circ}

2005 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★★☆☆
已知函数 y=xf′(x)y=xf'(x) 的图象如图所示（其中 f′(x)f'(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数），下面四个图象中，y=f(x)y=f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2005 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若 lim⁡x→1f(x−1)x−1=1\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x-1)}{x-1}=1，则 lim⁡x→1x−1f(2−2x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{f(2-2x)}=（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2005 · 江西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
矩形 ABCDABCD 中，AB=4AB=4，BC=3BC=3，沿 ACAC 将矩形 ABCDABCD 折成一个直二面角 B−AC−DB-AC-D，则四面体 ABCDABCD 的外接球的体积为（ ）
A.
12512π\frac{125}{12}\pi
B.
1259π\frac{125}{9}\pi
C.
1256π\frac{125}{6}\pi
D.
1253π\frac{125}{3}\pi

2005 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
已知实数 aa，bb 满足等式 (12)a=(13)b\left(\frac{1}{2}\right)^a=\left(\frac{1}{3}\right)^b，下列五个关系式：
① 0<b<a0<b<a； ② a<b<0a<b<0； ③ 0<a<b0<a<b； ④ b<a<0b<a<0； ⑤ a=ba=b.
其中不可能成立的关系式有（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2005 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
在 △OAB\triangle OAB 中，OO 为坐标原点，A(1,cos⁡θ)A(1,\cos\theta)，B(sin⁡θ,1)B(\sin\theta,1)，θ∈(0,π2]\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]，则 △OAB\triangle OAB 的面积达到最大值时，θ=\theta=（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2005 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
将 11，22，⋯\cdots，99 这 99 个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A.
156\frac{1}{56}
B.
170\frac{1}{70}
C.
1336\frac{1}{336}
D.
1420\frac{1}{420}

2005 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡a(x+x2+2a2)f(x)=\log_{a}\left(x+\sqrt{x^{2}+2a^{2}}\right) 是奇函数，则 a=a=______.

2005 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{x−y−2⩽0,x+2y−4>0,2y−3⩽0\begin{cases} x-y-2\leqslant 0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3\leqslant 0 \end{cases}
，则 yx\frac{y}{x} 的最大值是______.

2005 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=BC=2AB=BC=\sqrt{2}，BB1=2BB_{1}=2，∠ABC=90∘\angle ABC=90^{\circ}，EE，FF 分别为 AA1AA_{1}，C1B1C_{1}B_{1} 的中点，沿棱柱的表面从 EE 到 FF 两点的最短路径的长度为______.

2005 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
① 设 AA，BB 为两个定点，kk 为非零常数，∣PA→∣−∣PB→∣=k\left|\overrightarrow{PA}\right|-\left|\overrightarrow{PB}\right|=k，则动点 PP 的轨迹为双曲线； ② 设圆 CC 上一定点 AA 作圆的动点弦 ABAB，OO 为坐标原点，若 OP→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)，则动点 PP 的轨迹为椭圆； ③ 方程 2x2−5x+2=02x^{2}-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④ 双曲线 x225−y29=1\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1 与椭圆 x235+y2=1\frac{x^{2}}{35}+y^{2}=1 有相同的焦点.
其中真命题的序号为______. （写出所有真命题的序号）

2005 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2ax+bf(x)=\frac{x^{2}}{ax+b}（aa，bb 为常数），且方程 f(x)−x+12=0f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3x_1=3，x2=4x_2=4.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设 k>1k>1，解关于 xx 的不等式：f(x)<(k+1)x−k2−xf(x)<\frac{(k+1)x-k}{2-x}.

2005 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
已知向量 a=(2cos⁡x2,tan⁡(x2+π4))\boldsymbol{a}=\left(2\cos\frac{x}{2},\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)，b=(2sin⁡(x2+π4),tan⁡(x2−π4))\boldsymbol{b}=\left(\sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right),\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right)，令 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}. 是否存在实数 x∈[0,π]x\in[0,\pi]，使 f(x)+f′(x)=0f(x)+f'(x)=0（其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数）？若存在，则求出 xx 的值；若不存在，则证明之.

2005 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
AA，BB 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 AA 赢得 BB 一张卡片，否则 BB 赢得 AA 一张卡片. 规定掷硬币的次数达 99 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止. 设 ξ\xi 表示游戏终止时掷硬币的次数.
(1) 求 ξ\xi 的取值范围； (2) 求 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi).

2005 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AD=AA1=1AD=AA_{1}=1，AB=2AB=2，点 EE 在棱 ABAB 上移动.
(1) 证明：D1E⊥A1DD_{1}E\perp A_{1}D； (2) 当 EE 为 ABAB 的中点时，求点 EE 到面 ACD1ACD_{1} 的距离； (3) AEAE 等于何值时，二面角 D1−EC−DD_{1}-EC-D 的大小为 π4\frac{\pi}{4}.

2005 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项都是正数，且满足：a0=1a_{0}=1， an+1=12an(4−an)\ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n(4-a_n)，n∈Nn\in\mathbf{N}.
(1) 证明：an<an+1<2a_n<a_{n+1}<2，n∈Nn\in\mathbf{N}； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式 ana_n.

2005 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，设抛物线 C:y=x2C:y=x^{2} 的焦点为 FF，动点 PP 在直线 l:x−y−2=0l:x-y-2=0 上运动，过 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，且与抛物线 CC 分别相切于 AA，BB 两点.
(1) 求 △APB\triangle APB 的重心 GG 的轨迹方程； (2) 证明 ∠PFA=∠PFB\angle PFA=\angle PFB.

2005 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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