已知有穷数列 $\{a_{n}\}$ 共有 $2k$ 项（整数 $k \geqslant 2$），首项 $a_{1} = 2$. 设该数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $a_{n+1} = (a-1)S_{n} + 2$（$n = 1$，$2$，$\cdots$，$2k-1$）. 其中常数 $a > 1$.

(1) 求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列； (2) 若 $a = 2^{\frac{2}{2k-1}}$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n = \frac{1}{n}\log_2(a_1a_2\cdots a_n)$（$n = 1$，$2$，$\cdots$，$2k$），求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； (3) 若第二问中的数列 $\{b_n\}$ 满足不等式 $\left|b_1 - \frac{3}{2}\right| + \left|b_2 - \frac{3}{2}\right| + \cdots + \left|b_{2k-1} - \frac{3}{2}\right| + \left|b_{2k} - \frac{3}{2}\right| \leqslant 4$，求 $k$ 的值.