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03
函数与初等函数
★★★☆☆
若函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
的值域是
[
1
2
,
3
]
\left[\frac{1}{2}, 3\right]
[
2
1
,
3
]
，则函数
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+
1
f
(
x
)
F(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)}
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
)
1
的值域是（ ）
A.
[
1
2
,
3
]
\left[\frac{1}{2}, 3\right]
[
2
1
,
3
]
B.
[
2
,
10
3
]
\left[2, \frac{10}{3}\right]
[
2
,
3
10
]
C.
[
5
2
,
10
3
]
\left[\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]
[
2
5
,
3
10
]
D.
[
3
,
10
3
]
\left[3, \frac{10}{3}\right]
[
3
,
3
10
]
2008 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题
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04
导数及其应用
★★☆☆☆
lim
x
→
1
x
+
3
−
2
x
−
1
=
\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x} - 1} =
x
→
1
lim
x
−
1
x
+
3
−
2
=
（ ）
A.
1
2
\frac{1}{2}
2
1
B.
0
0
0
C.
−
1
2
-\frac{1}{2}
−
2
1
D.
不存在
2008 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
(1) 已知函数
f
(
x
)
=
1
1
+
x
+
1
1
+
a
+
a
x
a
x
+
8
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}
f
(
x
)
=
1
+
x
1
+
1
+
a
1
+
a
x
+
8
a
x
，
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x \in (0, +\infty)
x
∈
(
0
,
+
∞
)
. 当
a
=
8
a = 8
a
=
8
时，求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间； (2) 对任意正数
a
a
a
，证明：
1
<
f
(
x
)
<
2
1 < f(x) < 2
1
<
f
(
x
)
<
2
.
2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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