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03
函数与初等函数
★★★☆☆
若函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
的值域是
[
1
2
,
3
]
\left[\frac{1}{2}, 3\right]
[
2
1
,
3
]
，则函数
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+
1
f
(
x
)
F(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)}
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
)
1
的值域是（ ）
A.
[
1
2
,
3
]
\left[\frac{1}{2}, 3\right]
[
2
1
,
3
]
B.
[
2
,
10
3
]
\left[2, \frac{10}{3}\right]
[
2
,
3
10
]
C.
[
5
2
,
10
3
]
\left[\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]
[
2
5
,
3
10
]
D.
[
3
,
10
3
]
\left[3, \frac{10}{3}\right]
[
3
,
3
10
]
2008 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题
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12
函数与初等函数
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
2
m
x
2
−
2
(
4
−
m
)
x
+
1
f(x) = 2mx^2 - 2(4 - m)x + 1
f
(
x
)
=
2
m
x
2
−
2
(
4
−
m
)
x
+
1
，
g
(
x
)
=
m
x
g(x) = mx
g
(
x
)
=
m
x
，若对于任一实数
x
x
x
，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
与
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的值至少有一个为正数，则实数
m
m
m
的取值范围是（ ）
A.
(
0
,
2
)
(0, 2)
(
0
,
2
)
B.
(
0
,
8
)
(0, 8)
(
0
,
8
)
C.
(
2
,
8
)
(2, 8)
(
2
,
8
)
D.
(
−
∞
,
0
)
(-\infty, 0)
(
−
∞
,
0
)
2008 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
(1) 已知函数
f
(
x
)
=
1
1
+
x
+
1
1
+
a
+
a
x
a
x
+
8
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}
f
(
x
)
=
1
+
x
1
+
1
+
a
1
+
a
x
+
8
a
x
，
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x \in (0, +\infty)
x
∈
(
0
,
+
∞
)
. 当
a
=
8
a = 8
a
=
8
时，求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间； (2) 对任意正数
a
a
a
，证明：
1
<
f
(
x
)
<
2
1 < f(x) < 2
1
<
f
(
x
)
<
2
.
2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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