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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 A={x∣x⩾1}A = \{x \mid x \geqslant 1\}，则 ∁UA=‾\complement_U A =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
lim⁡n→∞(1−3nn+3)=‾\lim\limits_{n\to \infty}\left(1 - \frac{3n}{n + 3}\right) =\underline{\hspace{2em}}.

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，则 f−1(−2)=f^{-1}(-2) =______.

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04三角函数★☆☆☆☆
函数 y=2sin⁡x−cos⁡xy = 2\sin x - \cos x 的最大值为______.

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05解析几何★☆☆☆☆
若直线 ll 过点 (3,4)(3,4)，且 (1,2)(1,2) 是它的一个法向量，则直线 ll 的方程为______.

2011 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06不等式★☆☆☆☆
不等式 1x<1\frac{1}{x} < 1 的解集为______.

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07立体几何初步★☆☆☆☆
若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 33，33，22 的三角形，则该圆锥的侧面积为______.

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08三角函数★★☆☆☆
在相距 2 km2\mathrm{~km} 的 AA，BB 两点处测量目标点 CC，若 ∠CAB=75∘\angle CAB = 75^{\circ}，∠CBA=60∘\angle CBA = 60^{\circ}，则 AA，CC 两点之间的距离是______ km\mathrm{~km}.

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09不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足条件
{3x−y⩽0,x−3y+5⩾0,\begin{cases} 3x - y \leqslant 0,\\ x - 3y + 5 \geqslant 0, \end{cases}
则 z=x+yz = x + y 的最大值为______.

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10概率与统计★☆☆☆☆
课题组进行城市空气质量调查，按地域把 2424 个城市分成甲，乙，丙三组，对应的城市数分别为 44，1212，88，若用分层抽样抽取 66 个城市，则丙组中应抽取的城市数为______.

2011 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
行列式
∣abcd∣\begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix}
（aa，bb，cc，d∈{−1,1,2}d \in \{-1,1,2\}） 所有可能的值中，最大的是______.

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12平面向量★★☆☆☆
在正三角形 ABCABC 中，DD 是 BCBC 上的点. 若 AB=3AB = 3，BD=1BD = 1，则 AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =______.

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13概率与统计★★★☆☆
随机抽取的 99 位同学中，至少有 22 位同学在同一月份出生的概率为______（默认每个月的天数相同，结果精确到 0.0010.001）.

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14函数与初等函数★★★☆☆
设 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，以 1 为周期的函数，若函数 f(x)=x+g(x)f(x) = x + g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的值域为 [−2,5][-2,5]，则 f(x)f(x) 在区间 [0,3][0,3] 上的值域为______.

2011 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递减的是（ ）
A.
y=x−2y = x^{-2}
B.
y=x−1y = x^{-1}
C.
y=x2y = x^{2}
D.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}

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16不等式★★☆☆☆
若 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 ab>0ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A.
a2+b2>2aba^2 + b^2 > 2ab
B.
a+b⩾2aba + b \geqslant 2\sqrt{ab}
C.
1a+1b>2ab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{2}{\sqrt{ab}}
D.
ba+ab⩾2\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geqslant 2

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17集合与逻辑基础★★☆☆☆
若三角方程 sin⁡x=0\sin x = 0 与 sin⁡2x=0\sin 2x = 0 的解集分别为 EE，FF，则（ ）
A.
E⊊FE \subsetneq F
B.
E⊋FE \supsetneq F
C.
E=FE = F
D.
E∩F=∅E \cap F = \varnothing

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18平面向量★★☆☆☆
设 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4} 是平面上给定的 4 个不同点，则使 MA1→+MA2→+MA3→+MA4→=0→\overrightarrow{MA_{1}} + \overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MA_{3}} + \overrightarrow{MA_{4}} = \overrightarrow{0} 成立的点 MM 的个数为（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
4

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19复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_{1} 满足 (z1−2)(1+i)=1−i(z_{1} - 2)(1 + \mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），复数 z2z_{2} 的虚部为 2，且 z1⋅z2z_{1} \cdot z_{2} 是实数，求 z2z_{2}.

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20立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是底面边长为 11 的正四棱柱，高 AA1=2AA_{1} = 2，求：
(1) 异面直线 BDBD 与 AB1AB_{1} 所成角的余弦值； (2) 四面体 AB1D1CAB_{1}D_{1}C 的体积.

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21指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x + 1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

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22解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x2m2+y2=1C: \frac{x^2}{m^2} + y^{2} = 1（常数 m>1m > 1），PP 是曲线 CC 上的动点，MM 是曲线 CC 的右顶点，定点 AA 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 若 MM 与 AA 重合，求曲线 CC 的焦点坐标； (2) 若 m=3m = 3，求 ∣PA∣|PA| 的最大值与最小值； (3) 若 ∣PA∣|PA| 的最小值为 ∣MA∣|MA|，求实数 mm 的取值范围.

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23数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_{n} = 3n + 6，bn=2n+7b_{n} = 2n + 7（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_{1}，c2c_{2}，c3c_{3}，⋯\cdots，cnc_{n}，⋯\cdots.
(1) 求三个最小的数，使它们既是数列 {an}\{a_{n}\} 中的项，又是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的项； (2) 数列 c1c_{1}，c2c_{2}，c3c_{3}，⋯\cdots，c40c_{40} 中有多少项不是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的项？请说明理由； (3) 求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 4n4n 项和 S4nS_{4n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

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