在二项式 $(1 + 3x)^{n}$ 和 $(2x + 5)^{n}$ 的展开式中，各项系数之和分别记为 $a_{n}$，$b_{n}$，$n$ 是正整数，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - 2b_n}{3a_n - 4b_n} =$______.

\begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $x=1$，二项式 $(1+3x)^n$ 和 $(2x+5)^n$ 的各项系数之和分别为 $a_n=4^n$，$b_n=7^n$. 因而 由于 $0<\frac47<1$，有 $\left(\frac47\right)^n\to0$，所以原极限为 $\frac{-2}{-4}=\frac12$. \end{solution}

在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的 $9$ 名增至 $14$ 名，但只任取其中 $7$ 名裁判的评分作为有效分，若 $14$ 名裁判中有 $2$ 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是______. （结果用数值表示）

\begin{answer} $\frac{3}{13}$ \end{answer}

\begin{solution} 从 $14$ 名裁判中任取 $7$ 名作为有效评分，共有 $\mathrm C_{14}^{7}$ 种等可能结果. 若有效分中没有受贿裁判，则必须从 $12$ 名未受贿裁判中任取 $7$ 名，共有 $\mathrm C_{12}^{7}$ 种结果. 所求概率为 \end{solution}

规定 $\mathrm C_{x}^{m} = \dfrac{x(x - 1)\cdots(x - m + 1)}{m!}$，其中 $x \in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数，且 $\mathrm C_{x}^{0} = 1$，这是组合数 $\mathrm C_{n}^{m}$（$n$，$m$ 是正整数，且 $m \leqslant n$）的一种推广.

(1) 求 $\mathrm C_{-15}^{5}$ 的值. (2) 组合数的两个性质：

① $\mathrm C_{n}^{m} = \mathrm C_{n}^{n - m}$； ② $\mathrm C_{n}^{m} + \mathrm C_{n}^{m - 1} = \mathrm C_{n + 1}^{m}$.

是否都能推广到 $\mathrm C_{x}^{m}$（$x \in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3) 已知组合数 $\mathrm C_{n}^{m}$ 是正整数，证明：当 $x \in \mathbf{Z}$，$m$ 是正整数时，$\mathrm C_{x}^{m} \in \mathbf{Z}$.