方程 $\log_{3}(1 - 2\times 3^{x}) = 2x + 1$ 的解 $x =$______.

\begin{answer} $-1$ \end{answer}

\begin{solution} 由对数的真数为正，得 $1-2\times3^x>0$. 令 $u=3^x$，则 $u>0$，且原方程化为 $\log_3(1-2u)=2x+1$，从而 $1-2u=3^{2x+1}=3u^2$. 因此 $3u^2+2u-1=0$，即 $(3u-1)(u+1)=0$. 因为 $u>0$，所以 $u=\frac13$，故 $x=-1$. 此时真数为 $1-2\times\frac13=\frac13>0$，满足定义域，故解为 $x=-1$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = a \times b^x$ 的图象过点 $A\left(4, \frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 记 $a_{n} = \log_{2}f(n)$，$n$ 是正整数，$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，解关于 $n$ 的不等式 $a_{n}S_{n} \leqslant 0$； (3) 对于（2）中的 $a_{n}$ 与 $S_{n}$，整数 $10^{4}$ 是否为数列 $\{a_{n}S_{n}\}$ 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.