在二项式 $(1 + 3x)^{n}$ 和 $(2x + 5)^{n}$ 的展开式中，各项系数之和分别记为 $a_{n}$，$b_{n}$，$n$ 是正整数，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - 2b_n}{3a_n - 4b_n} =$______.

\begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $x=1$，二项式 $(1+3x)^n$ 和 $(2x+5)^n$ 的各项系数之和分别为 $a_n=4^n$，$b_n=7^n$. 因而 由于 $0<\frac47<1$，有 $\left(\frac47\right)^n\to0$，所以原极限为 $\frac{-2}{-4}=\frac12$. \end{solution}

若数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 3$，且 $a_{n+1} = a_{n}^{2}$（$n$ 是正整数），则数列的通项 $a_{n} =$______.

\begin{answer} $3^{2^{n-1}}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $a_1=3$，有 $a_1=3^{2^0}$. 若对某个正整数 $n$ 有 $a_n=3^{2^{n-1}}$，则 因此由数学归纳法，对任意正整数 $n$，数列的通项为 $a_n=3^{2^{n-1}}$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = a \times b^x$ 的图象过点 $A\left(4, \frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 记 $a_{n} = \log_{2}f(n)$，$n$ 是正整数，$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，解关于 $n$ 的不等式 $a_{n}S_{n} \leqslant 0$； (3) 对于（2）中的 $a_{n}$ 与 $S_{n}$，整数 $10^{4}$ 是否为数列 $\{a_{n}S_{n}\}$ 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.