设函数 $f(x) = \sin 2x$，若 $f(x + t)$ 是偶函数，则 $t$ 的一个可能值是______.

\begin{answer} $\frac{\pi}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $g(x)=f(x+t)=\sin(2x+2t)$. 利用和角公式，得 而 要使 $g(x)$ 为偶函数，必须对任意 $x$ 有 $g(x)=g(-x)$，于是 该等式对任意 $x$ 成立，当且仅当 $\cos2t=0$，即 $2t=\frac{\pi}{2}+k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 因而 $t=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$，取 $k=0$，得到一个可能值 $t=\frac{\pi}{4}$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = x^2 + 2x \cdot \tan \theta - 1$，$x \in [-1, \sqrt{3}]$，其中 $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

(1) 当 $\theta = -\frac{\pi}{6}$ 时，求函数 $y = f(x)$ 的最大值与最小值. (2) 求实数 $\theta$ 的取值范围，使 $y = f(x)$ 在区间 $[-1, \sqrt{3}]$ 上是单调函数.