已知 $a > 0$，且 $a \neq 1$，函数 $f(x) = \log_a(1 - a^x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的定义域，并判断 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $n \in \mathbf{N}^*$，求 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a^{f(n)}}{a^n + a}$； (3) 当 $a = \mathrm{e}$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）时，设 $h(x) = (1 - \mathrm{e}^{f(x)})(x^2 - m + 1)$. 若函数 $h(x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $h(x)$ 的极值.