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14
数列
★★☆☆☆
求
lim
n
→
∞
3
n
+
(
−
2
)
n
3
n
+
1
+
(
−
2
)
n
+
1
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{3^n + (-2)^n}{3^{n + 1} + (-2)^{n + 1}}
n
→
∞
lim
3
n
+
1
+
(
−
2
)
n
+
1
3
n
+
(
−
2
)
n
.
1986 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 解答题
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22
数列
★★★★☆
已知
x
1
>
0
x_1 > 0
x
1
>
0
，
x
1
≠
1
x_1 \neq 1
x
1
=
1
，且
x
n
+
1
=
x
n
(
x
n
2
+
3
)
3
x
n
2
+
1
x_{n+1} = \frac{x_n(x_n^2 + 3)}{3x_n^2 + 1}
x
n
+
1
=
3
x
n
2
+
1
x
n
(
x
n
2
+
3
)
，（
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
）. 试证：数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{
x
n
}
或者对任意自然数
n
n
n
都满足
x
n
<
x
n
+
1
x_n < x_{n+1}
x
n
<
x
n
+
1
，或者对任意自然数
n
n
n
都满足
x
n
>
x
n
+
1
x_n > x_{n+1}
x
n
>
x
n
+
1
.
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