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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣−3<x<1}M = \{x \mid -3 < x < 1\}，N={−3,−2,−1,0,1}N = \{-3, -2, -1, 0, 1\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{−2,−1,0,1}\{-2,-1,0,1\}
B.
{−3,−2,−1,0}\{-3,-2,-1,0\}
C.
{−2,−1,0}\{-2,-1,0\}
D.
{−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
∣21+i∣=\left|\frac{2}{1 + \mathrm{i}}\right| =（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
11

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x−y+1⩾0,x+y−1⩾0,x⩽3,\begin{cases} x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y - 1 \geqslant 0,\\ x \leqslant 3, \end{cases}
则 z=2x−3yz = 2x - 3y 的最小值是（ ）
A.
−7-7
B.
−6-6
C.
−5-5
D.
−3-3

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 b=2b = 2，B=π6B = \frac{\pi}{6}，C=π4C = \frac{\pi}{4}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为（ ）
A.
23+22\sqrt{3} + 2
B.
3+1\sqrt{3} + 1
C.
23−22\sqrt{3} - 2
D.
3−1\sqrt{3} - 1

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，PP 是 CC 上的点，PF2⊥F1F2PF_2 \perp F_1F_2，∠PF1F2=30∘\angle PF_1F_2 = 30^\circ，则 CC 的离心率为（ ）
A.
36\frac{\sqrt{3}}{6}
B.
13\frac{1}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡2α=23\sin 2\alpha = \frac{2}{3}，则 cos⁡2(α+π4)=\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) =（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
13\frac{1}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
23\frac{2}{3}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 N=4N = 4，那么输出的 S=S =（ ）
A.
1+12+13+141 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4}
B.
1+12+13×2+14×3×21 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3\times 2} +\frac{1}{4\times 3\times 2}
C.
1+12+13+14+151 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5}
D.
1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×21 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3\times 2} +\frac{1}{4\times 3\times 2} +\frac{1}{5\times 4\times 3\times 2}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡32a = \log_{3} 2，b=log⁡52b = \log_{5} 2，c=log⁡23c = \log_{2} 3，则（ ）
A.
a>c>ba > c > b
B.
b>c>ab > c > a
C.
c>b>ac > b > a
D.
c>a>bc > a > b

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O−xyzO - xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)(1,0,1)， (1,1,0)(1,1,0)， (0,1,1)(0,1,1)， (0,0,0)(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOxzOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，直线 ll 过 FF 且与 CC 交于 AA，BB 两点，若 ∣AF∣=3∣BF∣|AF| = 3|BF|，则 ll 的方程为（ ）
A.
y=x−1y = x - 1 或 y=−x+1y = -x + 1
B.
y=33(x−1)y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1) 或 y=−33(x−1)y = -\frac{\sqrt{3}}{3} (x - 1)
C.
y=3(x−1)y = \sqrt{3} (x - 1) 或 y=−3(x−1)y = -\sqrt{3} (x - 1)
D.
y=22(x−1)y = \frac{\sqrt{2}}{2} (x - 1) 或 y=−22(x−1)y = -\frac{\sqrt{2}}{2} (x - 1)

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11导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c，下列结论中错误的是（ ）
A.
∃x0∈R,f(x0)=0\exists x_{0}\in \mathbf{R}, f(x_{0}) = 0
B.
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是中心对称图形
C.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极小值点，则 f(x)f(x) 在区间 (−∞,x0)(- \infty, x_0) 单调递减
D.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极值点，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若存在正数 xx 使 2x(x−a)<12^{x} (x - a) < 1 成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,+∞)(- \infty, + \infty)
B.
(−2,+∞)(-2, +\infty)
C.
(0,+∞)(0, +\infty)
D.
(−1,+∞)(-1, +\infty)

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
从 11，22，33，44，55 中任意取出两个不同的数，其和为 55 的概率是______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，EE 为 CDCD 的中点，则 AE→⋅BD→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
已知正四棱锥 O−ABCDO - ABCD 的体积为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}，底面边长为 3\sqrt{3}，则以 OO 为球心，OAOA 为半径的球的表面积为______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
函数 y=cos⁡(2x+φ)y = \cos (2x + \varphi) （−π⩽φ<π- \pi \leqslant \varphi < \pi）的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位后，与函数 y=sin⁡(2x+π3)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的图象重合，则 φ=\varphi =______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差不为零，a1=25a_{1} = 25，且 a1a_{1}，a11a_{11}，a13a_{13} 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求 a1+a4+a7+⋯+a3n−2a_{1} + a_{4} + a_{7} + \cdots + a_{3n - 2}.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，DD，EE 分别是 ABAB，BB1BB_{1} 的中点.
(1) 证明： BC1∥BC_{1} \parallel 平面 A1CDA_{1}CD； (2) 设 AA1=AC=CB=2AA_{1} = AC = CB = 2，AB=22AB = 2\sqrt{2}，求三棱锥 C−A1DEC - A_{1}DE 的体积.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t1\mathrm{~t} 该产品获利润 500 元500\text{ 元}. 未售出的产品，每 1 t1\mathrm{~t} 亏损 300 元300\text{ 元}. 根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t130\mathrm{~t} 该农产品. 以 XX（单位：t\mathrm{t}，100⩽X⩽150100 \leqslant X \leqslant 150）表示下一个销售季度的市场需求量，TT（单位：元\text{元}）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1) 将 TT 表示为 XX 的函数； (2) 根据直方图估计利润 TT 不少于 57000 元的概率.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知圆 PP 在 xx 轴上截得线段长为 222\sqrt{2}，在 yy 轴上截得线段长为 232\sqrt{3}.
(1) 求圆心 PP 的轨迹方程； (2) 若 PP 点到直线 y=xy = x 的距离为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，求圆 PP 的方程.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2e−xf(x) = x^{2}\mathrm{e}^{-x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的极小值和极大值； (2) 当曲线 y=f(x)y = f(x) 的切线 ll 的斜率为负数时，求 ll 在 xx 轴上截距的取值范围.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
如图，CDCD 为 △ABC\triangle ABC 外接圆的切线，ABAB 的延长线交直线 CDCD 于点 DD，EE，FF 分别为弦 ABAB 与弦 ACAC 上的点，且 BC⋅AE=DC⋅AFBC \cdot AE = DC \cdot AF，BB，EE，FF，CC 四点共圆.
(1) 证明： CACA 是 △ABC\triangle ABC 外接圆的直径； (2) 若 DB=BE=EADB = BE = EA，求过 BB，EE，FF，CC 四点的圆的面积与 △ABC\triangle ABC 外接圆面积的比值.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知动点 PP，QQ 都在曲线
C:{x=2cos⁡t,y=2sin⁡t,C: \begin{cases} x = 2\cos t,\\ y = 2\sin t, \end{cases}
（tt 为参数）上，对应参数分别为 t=αt = \alpha 与 t=2αt = 2\alpha（0<α<2π0 < \alpha < 2\pi），MM 为 PQPQ 的中点.
(1) 求 MM 的轨迹的参数方程； (2) 将 MM 到坐标原点的距离 dd 表示为 α\alpha 的函数，并判断 MM 的轨迹是否过坐标原点.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc 均为正数，且 a+b+c=1a + b + c = 1，证明：
(1) ab+bc+ca⩽13ab + bc + ca \leqslant \frac{1}{3}； (2) a2b+b2c+c2a⩾1\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geqslant 1.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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