若直线 $ax - y + 1 = 0$ 经过抛物线 $y^{2} = 4x$ 的焦点，则实数 $a =$______.

在平面直角坐标系中，点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(0,1)$，$(4,2)$，$(2,6)$. 如果 $P(x,y)$ 是 $\triangle ABC$ 围成的区域（含边界）上的点，那么当 $w = xy$ 取到最大值时，点 $P$ 的坐标是______.

设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上的点. 若 $F_1$，$F_2$ 是椭圆的两个焦点，则 $\left|PF_1\right| + \left|PF_2\right|$ 等于（ ）

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1$.

(1) 求双曲线 $C$ 的渐近线方程； (2) 已知点 $M$ 的坐标为 $(0,1)$. 设 $P$ 是双曲线 $C$ 上的点，$Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点. 记 $\lambda = \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ}$，求 $\lambda$ 的取值范围； (3) 已知点 $D$，$E$，$M$ 的坐标分别为 $(-2, -1)$，$(2, -1)$，$(0, 1)$，$P$ 为双曲线 $C$ 上在第一象限内的点. 记 $l$ 为经过原点与点 $P$ 的直线，$s$ 为 $\triangle DEM$ 截直线 $l$ 所得线段的长. 试将 $s$ 表示为直线 $l$ 的斜率 $k$ 的函数.