如图，某住宅小区的平面图呈扇形 $AOC$. 小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处，小区里有两条笔直的小路 $AD$，$DC$，且拐弯处的转角为 $120^{\circ}$. 已知某人从 $C$ 沿 $CD$ 走到 $D$ 用了 $10\text{ 分钟}$，从 $D$ 沿 $DA$ 走到 $A$ 用了 $6\text{ 分钟}$. 若此人步行的速度为每分钟 $50\text{ 米}$，求该扇形的半径 $OA$ 的长.（精确到 $1\text{ 米}$）

已知函数 $f(x) = \sin 2x$，$g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$，直线 $x = t$（$t \in \mathbf{R}$）与函数 $f(x)$，$g(x)$ 的图象分别交于 $M$，$N$ 两点.

(1) 当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时，求 $|MN|$ 的值； (2) 求 $\left|MN\right|$ 在 $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时的最大值.