函数 $f(x) = 12x - x^3$ 在区间 $[-3, 3]$ 上的最小值是______.

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 $P$ 和居民区 $O$ 的公路，点 $P$ 所在的山坡面与山脚所在水平面 $\alpha$ 所成的二面角为 $\theta$（$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$），且 $\sin \theta = \frac{2}{5}$，点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $PH = 0.4\mathrm{~km}$. 沿山脚原有一段笔直的公路 $AB$ 可供利用，从点 $O$ 到山脚修路的造价为 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，原有公路改建费用为 $\frac{a}{2}\text{ 万元}/\mathrm{km}$，当山坡上公路长度为 $l\mathrm{~km}$（$1 \leqslant l \leqslant 2$）时，其造价为 $(l^{2} + 1)a\text{ 万元}$，已知 $OA \perp AB$，$PB \perp AB$，$AB = 1.5\mathrm{~km}$，$OA = \sqrt{3}\mathrm{~km}$.

(1) 在 $AB$ 上求一点 $D$，使沿折线 $PDAO$ 修建公路的总造价最小； (2) 对于上一问得到的点 $D$，在 $DA$ 上求一点 $E$，使沿折线 $PDEO$ 修建公路的总造价最小； (3) 在 $AB$ 上是否存在两个不同的点 $D'$，$E'$，使沿折线 $PD'E'O$ 修建公路的总造价小于上一问得到的最小总造价，证明你的结论.