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06函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={4x−4,x⩽1,x2−4x+3,x>1,f(x) = \begin{cases} 4x - 4, & x \leqslant 1,\\ x^2 - 4x + 3, & x > 1, \end{cases}
的图象和函数 g(x)=log⁡2xg(x) = \log_2 x 的图象的交点个数是（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2007 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
下列四个命题中，不正确的是（ ）
A.
若函数 f(x)f(x) 在 x=x0x = x_0 处连续，则 lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)
B.
函数 f(x)=x+2x2−4f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 4} 的不连续点是 x=2x = 2 和 x=−2x = -2
C.
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 lim⁡x→∞[f(x)−g(x)]=0\lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - g(x)] = 0，则 lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x)\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x)
D.
lim⁡x→1x−1x−1=12\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{1}{2}

2007 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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21数列★★★★★
已知 An(an,bn)A_{n}(a_{n}, b_{n})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）是曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 上的点，a1=aa_{1} = a，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且满足 Sn2=3n2an+Sn−12S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}，an≠0a_{n} \neq 0，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 证明：数列 {bn+2bn}\left\{\frac{b_{n+2}}{b_n}\right\}（n⩾2n \geqslant 2）是常数数列； (2) 确定 aa 的取值集合 MM，使 a∈Ma \in M 时，数列 {an}\{a_n\} 是单调递增数列； (3) 证明：当 a∈Ma \in M 时，弦 AnAn+1A_{n} A_{n+1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的斜率随 nn 单调递增.

2007 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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