棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的 $8$ 个顶点都在球 $O$ 的表面上，$E$，$F$ 分别是棱 $AA_{1}$，$DD_{1}$ 的中点，则直线 $EF$ 被球 $O$ 截得的线段长为（ ）

如图 1，$E$，$F$ 分别是矩形 $ABCD$ 的边 $AB$，$CD$ 的中点，$G$ 是 $EF$ 上的一点，将 $\triangle GAB$，$\triangle GCD$ 分别沿 $AB$，$CD$ 翻折成 $\triangle G_{1}AB$，$\triangle G_{2}CD$，并连接 $G_{1}G_{2}$，使得平面 $G_{1}AB \perp$ 平面 $ABCD$，$G_{1}G_{2} \parallel AD$，且 $G_{1}G_{2} < AD$，连接 $BG_{2}$，如图 2.

(1) 证明：平面 $G_{1}AB \perp$ 平面 $G_{1}ADG_{2}$； (2) 当 $AB = 12$，$BC = 25$，$EG = 8$ 时，求直线 $BG_{2}$ 和平面 $G_{1}ADG_{2}$ 所成的角.

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 $P$ 和居民区 $O$ 的公路，点 $P$ 所在的山坡面与山脚所在水平面 $\alpha$ 所成的二面角为 $\theta$（$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$），且 $\sin \theta = \frac{2}{5}$，点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $PH = 0.4\mathrm{~km}$. 沿山脚原有一段笔直的公路 $AB$ 可供利用，从点 $O$ 到山脚修路的造价为 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，原有公路改建费用为 $\frac{a}{2}\text{ 万元}/\mathrm{km}$，当山坡上公路长度为 $l\mathrm{~km}$（$1 \leqslant l \leqslant 2$）时，其造价为 $(l^{2} + 1)a\text{ 万元}$，已知 $OA \perp AB$，$PB \perp AB$，$AB = 1.5\mathrm{~km}$，$OA = \sqrt{3}\mathrm{~km}$.

(1) 在 $AB$ 上求一点 $D$，使沿折线 $PDAO$ 修建公路的总造价最小； (2) 对于上一问得到的点 $D$，在 $DA$ 上求一点 $E$，使沿折线 $PDEO$ 修建公路的总造价最小； (3) 在 $AB$ 上是否存在两个不同的点 $D'$，$E'$，使沿折线 $PD'E'O$ 修建公路的总造价小于上一问得到的最小总造价，证明你的结论.