已知 $a$ 为正实数，$n$ 为自然数，抛物线 $y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$，设 $f(n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处切的切线在 $y$ 轴上的截距.

(1) 用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$； (2) 求对所有 $n$ 都有 $\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n^3}{n^3 + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值； (3) 当 $0 < a < 1$ 时，比较 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f(k) - f(2k)}$ 与 $\frac{27}{4} \cdot \frac{f(1) - f(n)}{f(0) - f(1)}$ 的大小，并说明理由.