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12数列★★★★☆
设函数 f(x)=2x−cos⁡xf(x) = 2x - \cos x，{an}\{a_n\} 是公差为 π8\frac{\pi}{8} 的等差数列，f(a1)+f(a2)+⋯+f(a5)=5πf(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_5) = 5\pi，则 [f(a3)]2−a1a5=\left[f(a_3)\right]^2 - a_1a_5 =（ ）
A.
0
B.
116π2\frac{1}{16}\pi^2
C.
18π2\frac{1}{8}\pi^2
D.
1316π2\frac{13}{16}\pi^2

2012 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16数列★★★★★
记 [x][x] 为不超过实数 xx 的最大整数，例如，[2][2] = 22，[1.5][1.5] = 11，[−0.3][{-0.3}] = −1-1. 设 aa 为正整数，数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=ax_1 = a，xn+1=[xn+[axn]2]x_{n+1} = \left[\dfrac{x_n + \left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），现有下列命题：
① 当 a=5a=5 时，数列 {xn}\{x_n\} 的前3项依次为 55，33，22； ② 对数列 {xn}\{x_n\} 都存在正整数 kk，当 n⩾kn\geqslant k 时总有 xn=xkx_n=x_k； ③ 当 n⩾1n\geqslant1 时，xn>a−1x_n>\sqrt a-1； ④ 对某个正整数 kk，若 xk+1⩾xkx_{k+1}\geqslant x_k，则 xk=[a]x_k=[\sqrt a].
其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）

2012 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 a2an=S2+Sna_{2}a_{n} = S_{2} + S_{n} 对一切正整数 nn 都成立.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2} 的值； (2) 设 a1>0a_{1} > 0，数列 {lg⁡10a1an}\left\{\lg \frac{10a_{1}}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，当 nn 为何值时，TnT_{n} 最大，并求出 TnT_{n} 的最大值.

2012 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 aa 为正实数，nn 为自然数，抛物线 y=−x2+an2y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2} 与 xx 轴正半轴相交于点 AA，设 f(n)f(n) 为该抛物线在点 AA 处切的切线在 yy 轴上的截距.
(1) 用 aa 和 nn 表示 f(n)f(n)； (2) 求对所有 nn 都有 f(n)−1f(n)+1⩾n3n3+1\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n^3}{n^3 + 1} 成立的 aa 的最小值； (3) 当 0<a<10 < a < 1 时，比较 ∑k=1n1f(k)−f(2k)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f(k) - f(2k)} 与 274⋅f(1)−f(n)f(0)−f(1)\frac{27}{4} \cdot \frac{f(1) - f(n)}{f(0) - f(1)} 的大小，并说明理由.

2012 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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