设 $\{a_n\}$ 是等比数列，公比大于 $0$，其前 $n$ 项和为 $S_n$ （$n\in\mathbf{N}^*$），$\{b_n\}$ 是等差数列. 已知 $a_1=1$，$a_3=a_2+2$，$a_4=b_3+b_5$，$a_5=b_4+2b_6$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 设数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ （$n\in\mathbf{N}^*$），

(i) 求 $T_n$； (ii) 证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(T_k+b_k+2)b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2$ （$n\in\mathbf{N}^*$）.