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01复数★☆☆☆☆
复数 (1−i1+i)10\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{10} 的值是（\quad）
A.
−1-1
B.
11
C.
−32-32
D.
3232

2004 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
tan⁡15∘+cot⁡15∘\tan 15^{\circ}+\cot 15^{\circ} 的值是（\quad）
A.
22
B.
2+32+\sqrt{3}
C.
44
D.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}

2004 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
命题 pp：若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，则 ∣a∣+∣b∣>1|a|+|b|>1 是 ∣a+b∣>1|a+b|>1 的充要条件. 命题 qq：函数 y=∣x−1∣−2y=\sqrt{|x-1|-2} 的定义域是 (−∞,−1]∪[3,+∞)(-\infty,-1]\cup[3,+\infty). 则（\quad）
A.
“pp 或 qq”为假
B.
“pp 且 qq”为真
C.
pp 真 qq 假
D.
pp 假 qq 真

2004 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆的两个焦点，过 F1F_1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 AA，BB 两点，若 △ABF2\triangle ABF_2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（\quad）
A.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2004 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 是不重合的直线，α\alpha，β\beta 是不重合的平面，有下列命题：
① 若 m⊂αm\subset\alpha，n∥αn\parallel\alpha，则 m∥nm\parallel n； ② 若 m∥αm\parallel\alpha，m∥βm\parallel\beta，则 α∥β\alpha\parallel\beta； ③ 若 α∩β=n\alpha\cap\beta=n，m∥nm\parallel n，则 m∥αm\parallel\alpha 且 m∥βm\parallel\beta； ④ 若 m⊥αm\perp\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α∥β\alpha\parallel\beta.
其中真命题的个数是（\quad）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2004 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 44 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 22 名，则不同的安排方案种数为（\quad）
A.
A62C42\mathrm A_6^2\mathrm C_4^2
B.
12A62C42\frac{1}{2}\mathrm A_6^2\mathrm C_4^2
C.
A62A42\mathrm A_6^2\mathrm A_4^2
D.
2A622\mathrm A_6^2

2004 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 y=log⁡2xy=\log_2 x 的反函数是 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)，则函数 y=f−1(1−x)y=f^{-1}(1-x) 的图象是（\quad）
A.
B.
C.
D.

2004 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，且满足 (a−2b)⊥a(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}，(b−2a)⊥b(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（\quad）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2004 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (1−2x)9(1-2^x)^9 展开式的第 33 项为 288288，则 lim⁡n→∞(1x+1x2+⋯+1xn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^n}\right) 的值是（\quad）
A.
22
B.
11
C.
12\frac{1}{2}
D.
25\frac{2}{5}

2004 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图，AA，BB，CC 是表面积为 48π48\pi 的球面上三点，AB=2AB=2，BC=4BC=4，∠ABC=60∘\angle ABC=60^{\circ}，OO 为球心，则直线 OAOA 与截面 ABCABC 所成的角是（\quad）
A.
arcsin⁡36\arcsin\frac{\sqrt{3}}{6}
B.
arccos⁡36\arccos\frac{\sqrt{3}}{6}
C.
arcsin⁡33\arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
arccos⁡33\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}

2004 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=f(x+2)f(x)=f(x+2)，当 x∈[3,5]x\in[3,5] 时，f(x)=2−∣x−4∣f(x)=2-|x-4|，则（\quad）
A.
f(sin⁡π6)<f(cos⁡π6)f\left(\sin\frac{\pi}{6}\right)<f\left(\cos\frac{\pi}{6}\right)
B.
f(sin⁡1)>f(cos⁡1)f(\sin 1)>f(\cos 1)
C.
f(cos⁡2π3)<f(sin⁡2π3)f\left(\cos\frac{2\pi}{3}\right)<f\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)
D.
f(cos⁡2)>f(sin⁡2)f(\cos 2)>f(\sin 2)

2004 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★★★
如图，BB 地在 AA 地的正东方向 4 km4 \mathrm{~km} 处，CC 地在 BB 地的北偏东 30∘30^{\circ} 方向 2 km2 \mathrm{~km} 处，河流的沿岸 PQPQ（曲线）上任意一点到 AA 的距离比到 BB 的距离远 2 km2 \mathrm{~km}. 现要在曲线 PQPQ 上选一处 MM 建一座码头，向 BB，CC 两地转运货物. 经测算，从 MM 到 BB，CC 两地修建公路的费用分别是 a 万元/kma\text{ 万元}/\mathrm{km}，2a 万元/km2a\text{ 万元}/\mathrm{km}，那么修建这两条公路的总费用最低是（\quad）
A.
(27−2)a 万元(2\sqrt{7}-2)a\text{ 万元}
B.
5a 万元5a\text{ 万元}
C.
(27+1)a 万元(2\sqrt{7}+1)a\text{ 万元}
D.
(27+3)a 万元(2\sqrt{7}+3)a\text{ 万元}

2004 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
直线 x+2y=0x+2y=0 被曲线 x2+y2−6x−2y−15=0x^2+y^2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于______.

2004 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={1+x−1x,x≠0,a,x=0,f(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, & x\neq 0,\\ a, & x=0, \end{cases}
在 x=0x=0 处连续，则实数 aa 的值为______.

2004 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
某射手射击 11 次，击中目标的概率是 0.90.9. 他连续射击 44 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响. 有下列结论：
① 他第 33 次击中目标的概率是 0.90.9； ② 他恰好击中目标 33 次的概率是 0.93×0.10.9^3\times 0.1； ③ 他至少击中目标 11 次的概率是 1−0.141-0.1^4.
其中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）.

2004 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
如图，将边长为 11 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.
当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大.

2004 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}，其中向量 a=(2cos⁡x,1)\boldsymbol{a}=(2\cos x,1)，b=(cos⁡x,3sin⁡2x)\boldsymbol{b}=(\cos x,\sqrt{3}\sin 2x)，x∈Rx\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(x)=1−3f(x)=1-\sqrt{3} 且 x∈[−π3,π3]x\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]，求 xx； (2) 若函数 y=2sin⁡2xy=2\sin 2x 的图象按向量 c=(m,n)\boldsymbol{c}=(m,n)（∣m∣<π2|m|<\frac{\pi}{2}）平移后得到函数 y=f(x)y=f(x) 的图象，求实数 mm，nn 的值.

2004 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 1010 道试题中，甲能答对其中的 66 题，乙能答对其中的 88 题. 规定每次考试都从备选题中随机抽出 33 题进行测试，至少答对 22 题才算合格.
(1) 求甲答对试题数 ξ\xi 的概率分布及数学期望； (2) 求甲，乙两人至少有一人考试合格的概率.

2004 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，△ABC\triangle ABC 是边长为 44 的正三角形，平面 SAC⊥SAC\perp 平面 ABCABC，SA=SC=23SA=SC=2\sqrt{3}，MM，NN 分别为 ABAB，SBSB 的中点.
(1) 证明：AC⊥SBAC\perp SB； (2) 求二面角 N−CM−BN-CM-B 的大小； (3) 求点 BB 到平面 CMNCMN 的距离.

2004 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
某企业 20032003 年的纯利润为 500 万元500\text{ 万元}，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元20\text{ 万元}，今年初该企业一次性投入资金 600 万元600\text{ 万元} 进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 nn 年（今年为第一年）的利润为 500(1+12n) 万元500\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\text{ 万元}（nn 为正整数）.
(1) 设从今年起的前 nn 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元A_n\text{ 万元}，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元B_n\text{ 万元}（须扣除技术改造资金），求 AnA_n，BnB_n 的表达式； (2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

2004 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=2x−ax2+2f(x)=\frac{2x-a}{x^2+2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2+tm+1\geqslant |x_1-x_2| 对任意 a∈Aa\in A 及 t∈[−1,1]t\in[-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，PP 是抛物线 C:y=12x2C:y=\frac{1}{2}x^2 上一点，直线 ll 过点 PP 且与抛物线 CC 交于另一点 QQ.
(1) 若直线 ll 与过点 PP 的切线垂直，求线段 PQPQ 中点 MM 的轨迹方程； (2) 若直线 ll 不过原点且与 xx 轴交于点 SS，与 yy 轴交于点 TT，试求 ∣ST∣∣SP∣+∣ST∣∣SQ∣\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|} 的取值范围.

2004 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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