已知 $F_1$，$F_2$ 是椭圆的两个焦点，过 $F_1$ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，若 $\triangle ABF_2$ 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（$\quad$）

如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4 \mathrm{~km}$ 处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2 \mathrm{~km}$ 处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2 \mathrm{~km}$. 现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B$，$C$ 两地转运货物. 经测算，从 $M$ 到 $B$，$C$ 两地修建公路的费用分别是 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，$2a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，那么修建这两条公路的总费用最低是（$\quad$）

直线 $x+2y=0$ 被曲线 $x^2+y^2-6x-2y-15=0$ 所截得的弦长等于______.

如图，$P$ 是抛物线 $C:y=\frac{1}{2}x^2$ 上一点，直线 $l$ 过点 $P$ 且与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q$.

(1) 若直线 $l$ 与过点 $P$ 的切线垂直，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程； (2) 若直线 $l$ 不过原点且与 $x$ 轴交于点 $S$，与 $y$ 轴交于点 $T$，试求 $\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}$ 的取值范围.