在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$\angle ABC=120^\circ$，$\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$，且 $BD=1$，则 $4a+c$ 的最小值为______.

设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是首项为 $b_1$，公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 设 $a_1=0$，$b_1=1$，$q=2$，若 $|a_n-b_n|\le b_1$ 对 $n=1$，$2$，$3$，$4$ 均成立，求 $d$ 的取值范围； (2) 若 $a_1=b_1>0$，$m\in\mathbf{N}^*$，$q\in(1,\sqrt[m]{2}]$，证明：存在 $d\in\mathbf{R}$，使得 $|a_n-b_n|\le b_1$ 对 $n=2$，$3$，$\cdots$，$m+1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_1$，$m$，$q$ 表示）.

若 $x$，$y$，$z$ 为实数，且 $x+2y+2z=6$，求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值.