已知函数 $f(x) = \sin x + \tan x$，项数为 $27$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$，且公差 $d \neq 0$. 若 $f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0$，则当 $k =$______ 时，$f(a_k) = 0$.

已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 若 $a_n = 3n + 1$，是否存在 $m$，$k \in \mathbf{N}^*$，有 $a_m + a_{m+1} = a_k$？请说明理由； (2) 找出所有数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，使对一切 $n \in \mathbf{N}^*$，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = b_n$，并说明理由； (3) 若 $a_1 = 5$，$d = 4$，$b_1 = q = 3$，试确定所有的 $p$，使数列 $\{a_n\}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 $\{b_n\}$ 中的一项，请证明.