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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={1,2,6}A=\{1,2,6\}，B={2,4}B=\{2,4\}，C={1,2,3,4}C=\{1,2,3,4\}，则 (A∪B)∩C=(A\cup B)\cap C=（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{1,2,4}\{1,2,4\}
C.
{1,2,4,6}\{1,2,4,6\}
D.
{1,2,3,4,6}\{1,2,3,4,6\}

2017 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则“2−x≥02-x\ge 0”是“∣x−1∣≤1|x-1|\le 1”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2017 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
有 55 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红，黄，蓝，绿，紫. 从这 55 支彩笔中任取 22 支不同颜色的彩笔，则取出的 22 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A.
45\dfrac45
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2017 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 1919，则输出 NN 的值为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2017 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点为 FF，点 AA 在双曲线的渐近线上，△OAF\triangle OAF 是边长为 22 的等边三角形（OO 为原点），则双曲线的方程为（ ）
A.
x24−y212=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1
B.
x212−y24=1\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}{4}=1
C.
x23−y2=1\dfrac{x^2}{3}-y^2=1
D.
x2−y23=1x^2-\dfrac{y^2}{3}=1

2017 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
已知奇函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上是增函数. 若 a=−f ⁣(log⁡215)a=-f\!\left(\log_2\dfrac15\right)，b=f(log⁡24.1)b=f(\log_2 4.1)，c=f(20.8)c=f(2^{0.8})，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
c<b<ac<b<a
D.
c<a<bc<a<b

2017 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=2sin⁡(ωx+φ)f(x)=2\sin(\omega x+\varphi)，x∈Rx\in\mathbf{R}，其中 ω>0\omega>0，∣φ∣<π|\varphi|<\pi. 若 f ⁣(5π8)=2f\!\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=2，f ⁣(11π8)=0f\!\left(\dfrac{11\pi}{8}\right)=0，且 f(x)f(x) 的最小正周期大于 2π2\pi，则（ ）
A.
ω=23\omega=\dfrac23，φ=π12\varphi=\dfrac\pi{12}
B.
ω=23\omega=\dfrac23，φ=−11π12\varphi=-\dfrac{11\pi}{12}
C.
ω=13\omega=\dfrac13，φ=−11π24\varphi=-\dfrac{11\pi}{24}
D.
ω=13\omega=\dfrac13，φ=7π24\varphi=\dfrac{7\pi}{24}

2017 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x<1x<1 时，f(x)=∣x∣+2f(x)=|x|+2；当 x≥1x\ge 1 时，f(x)=x+2xf(x)=x+\dfrac2x. 设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac x2+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−23,2][-2\sqrt3,2]
C.
[−2,23][-2,2\sqrt3]
D.
[−23,23][-2\sqrt3,2\sqrt3]

2017 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★★☆☆☆
a∈Ra\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位，若 a−i2+i\dfrac{a-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} 为实数，则 aa 的值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10导数及其应用★★☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，设函数 f(x)=ax−ln⁡xf(x)=ax-\ln x 的图象在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线为 ll，则 ll 在 yy 轴上的截距为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★☆☆☆
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1818，则这个球的体积为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
设抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll. 已知点 CC 在 ll 上，以 CC 为圆心的圆与 yy 轴的正半轴相切于点 AA. 若 ∠FAC=120∘\angle FAC=120^\circ，则圆的方程为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，AB=3AB=3，AC=2AC=2. 若 BD→=2DC→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，AE→=λAC→−AB→\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}），且 AD→⋅AE→=−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4，则 λ\lambda 的值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A=4bsin⁡Ba\sin A=4b\sin B，ac=5(a2−b2−c2)ac=\sqrt5\left(a^2-b^2-c^2\right).
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) 求 sin⁡(2B−A)\sin(2B-A) 的值.

2017 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
电视台播放甲，乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告. 已知每次播放甲，乙两套连续剧时，连续剧播放时长，广告播放时长，收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）
乙6060552525
已知电视台每周安排的甲，乙连续剧的总播放时间不多于 600600 分钟，广告的总播放时间不少于 3030 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 22 倍. 分别用 xx，yy 表示每周计划播出的甲，乙两套连续剧的次数.
(1) 用 xx，yy 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问电视台每周播出甲，乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

2017 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，AD⊥AD\perp 平面 PDCPDC，AD∥BCAD\parallel BC，PD⊥PBPD\perp PB，AD=1AD=1，BC=3BC=3，CD=4CD=4，PD=2PD=2.
(1) 求异面直线 APAP 与 BCBC 所成角的余弦值； (2) 求证：PD⊥PD\perp 平面 PBCPBC； (3) 求直线 ABAB 与平面 PBCPBC 所成角的正弦值.

2017 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nbn}\{a_{2n}b_n\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，∣a∣≤1|a|\le 1. 已知函数 f(x)=x3−6x2−3a(a−4)x+bf(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b，g(x)=exf(x)g(x)=\mathrm{e}^x f(x).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知函数 y=g(x)y=g(x) 和 y=exy=\mathrm{e}^x 的图象在公共点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处有相同的切线.
(i) 求证：f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处的导数等于 00； (ii) 若关于 xx 的不等式 g(x)≤exg(x)\le \mathrm{e}^x 在区间 [x0−1,x0+1][x_0-1,x_0+1] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2017 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c,0)，右顶点为 AA，点 EE 的坐标为 (0,c)(0,c)，△EFA\triangle EFA 的面积为 b22\dfrac{b^2}{2}.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设点 QQ 在线段 AEAE 上，∣FQ∣=32c|FQ|=\dfrac32c，延长线段 FQFQ 与椭圆交于点 PP，点 MM，NN 在 xx 轴上，PM∥QNPM\parallel QN，且直线 PMPM 与直线 QNQN 间的距离为 cc，四边形 PQNMPQNM 的面积为 3c3c.
(i) 求直线 FPFP 的斜率； (ii) 求椭圆的方程.

2017 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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